Teorie časové hodnoty peněz
Podle teorie časové hodnoty peněz má dnes jedna peněžní jednotka větší hodnotu než jednotka přijatá v budoucnu.
Celé období před vznikem budoucích příjmů generuje peněžní jednotka zisk nebo novou hodnotu. Množství peněz připisované určitému časovému okamžiku se nazývá peněžní toky. Hlavní operací, která umožňuje porovnávat peníze v různých časech, je operace akumulace a diskontování.
Akumulace je proces určování budoucí hodnoty.
Diskontování je proces snižování peněžních toků z investice na jejich současnou hodnotu.
Veškerá finanční analýza je založena na těchto dvou operacích, protože peněžní jednotka je považována za kapitál.
Problémy akumulace nejzřetelněji ilustrují příklady z oblasti úvěrových vztahů s využitím vzorce pro výpočet složeného úročení.
Jedním z hlavních kritérií je úroková sazba (např. i) je poměr čistého příjmu k investovanému kapitálu. V případě akumulační operace se tato míra nazývá míra návratnosti kapitálu. Při diskontování se nazývá diskontní sazba nebo diskontní sazba.
Částky peněz přijímané (vydávané) pravidelně (měsíčně, čtvrtletně, ročně) se nazývají anuity - mohou být jednoduché nebo zálohové, podle toho, zda jsou vypláceny na konci nebo na začátku období.
Riziko je nejistota spojená s investicí, tj. pravděpodobnost, že předpokládané výnosy z investice budou větší nebo menší, než se očekávalo.
Finanční výpočty mohou být založeny na jednoduchém a složeném úročení.
Prosté úročení je zvýšení příjmu z investovaného množství peněz při jednotné úrokové sazbě po celé období.
Složený úrok je zvýšení příjmu z investované částky peněz na základě zůstatku předchozího časového období během trvání investice nebo půjčky.
Jednoduchý výpočet úroku:
Výpočet složeného úroku:
F V.= PV× (1+i) n (2)
PV– aktuální hodnota, rub (cu);
F V.– budoucí hodnota, rub (cu);
n– doba (doba) vkladu, roky (měsíce).
Tabulka 1 - Získání jednoduchého a složeného úročení
|
Operace | |||
|
Přijatý úrok | |||
|
Zůstatek na konci roku | |||
|
Přijatý úrok | |||
|
Zůstatek na konci roku | |||
|
Přijatý úrok | |||
|
Zůstatek na konci roku | |||
|
Přijatý úrok | |||
|
Zůstatek na konci roku | |||
|
Přijatý úrok | |||
|
Zůstatek na konci roku | |||
Rozdíl ve výpočtech pro jednoduché a složené úročení spočívá v tom, že při jednoduchém úročení se sazba účtuje pokaždé z původně vloženého kapitálu se složeným úročením, každá následující sazba se počítá v předchozím období částky, t.j zájem.
Pravidlo 72:
Používá se k přibližnému výpočtu počtu let potřebných ke zdvojnásobení množství peněz:
n=72 / i (3)
Existuje šest funkcí složeného úročení:
Akumulovaná částka měny
Aktuální hodnota jednotky (reverze)
Akumulace peněžní jednotky za určité období
Kompenzační fond
Příspěvek na odpis jednotky
Aktuální hodnota anuity (platba)
Nyní se podívejme na každou funkci zvlášť.
Akumulovaná částka měny
Ekonomický význam - ukazuje, jaká částka se nahromadí na účtu do konce určitého období při daném výnosovém tempu, pokud je dnes na účet uložena jedna peněžní jednotka.
Když se úrok počítá jednou ročně:
F V.= PV× (1+i) n (4)
Když se úrok počítá častěji než jednou ročně:
F V.= PV× (1+i/ k) n × k (5)
i- diskontní sazba, %
n– doba (doba) vkladu, roky (měsíc)
k – počet naběhlých úroků za rok
(1+ i) n– faktor kumulované částky podílové jednotky s výpočtem ročního úroku
(1+i/k) n * k– faktor kumulované částky peněžní jednotky, kdy se úrok počítá častěji než jednou za 1 rok.
Úkol 1: Určete, jaká částka se nashromáždí na účtu do konce 28,5 let, pokud dnes vložíte 4450 rublů na účet, který přináší 26 % ročně. Úrok se počítá na konci každého pololetí.
FV = 4 450 × (1 + 0,26/2) 28,5 × 2 = 4 718 796,94 RUB
Aktuální jednotkové náklady
Ekonomický význam – ukazuje, jaká je při dané diskontní sazbě aktuální hodnota jedné peněžní jednotky přijaté na konci určitého časového období.
Určeno podle vzorců:
(6)
(7)
1/(1+ i) n– faktor aktuální ceny podílového listu s výpočtem ročního úroku;
1/(1+ i/ k) n × k– faktor aktuálních nákladů na jednotku, přičemž úrok se počítá častěji než jednou ročně.
Úkol 2: Určete aktuální hodnotu 3100 rublů, která bude přijata na konci 9. roku s diskontní sazbou 9%. Úroky narostlé každý den.
PV= 3 100 × 1/(1 + 0,09/365) 9 × 365 = 1 379,20 RUB
Akumulace peněžní jednotky za určité období
Ekonomický význam - ukazuje, jaká částka se bude na účtu akumulovat daným tempem, pokud je na účet pravidelně po určitou dobu ukládána jedna peněžní jednotka.
Budoucí hodnota běžné anuity:
(8)
(9)
Budoucí hodnota zálohové anuity:
(10)
(11)
PMT – stejné pravidelné platby, rub;
((1+ i) n - 1) / i– faktor akumulace peněžní jednotky za období
Úkol 3: Určete částku, která se nashromáždí na účtu s výnosem 34 % ročně do konce 49. měsíce, pokud na účet vložíte 6 300 rublů měsíčně. platby se provádějí: a) na začátku měsíce; b) na konci měsíce.
A)
b)
Založení kompenzačního fondu
Ekonomický význam - ukazuje, kolik je potřeba pravidelně po určitou dobu vkládat na účet, aby na konci tohoto období byla při daném výnosu jedna peněžní jednotka na účtu.
Určeno podle vzorců:
(12)
(13)
i / (1+ i) n -1 – faktor kompenzačního fondu.
Úkol 4: Určete, jaké platby by měly být, abyste měli na účtu 78 000 rublů s výdělkem 8 % ročně do konce 9. roku. platby se provádějí: a) na konci každého pololetí; b) na konci každého čtvrtletí.
A) 
b) 
Příspěvek na odpisy
Ekonomický význam - ukazuje, jaké by měly být anuitní platby pro splacení půjčky jedné peněžní jednotky vydané s danou úrokovou sazbou po určité období.
Určeno podle vzorců:
(14)
(15)
–příspěvkový faktor odpisů;
Úkol 5: Půjčka ve výši 345 000 rublů byla vydána na 29 let za 18% ročně. Určete výši anuitních splátek. Půjčka se splácí na konci každého měsíce.
Současná hodnota anuity
Ekonomický význam – ukazuje, jaká je při dané diskontní sazbě současná hodnota řady plateb jedné peněžní jednotky přijatých za určité období.
Určeno podle vzorců:
1. Běžná anuita:
(16)
(17)
2. Zálohová anuita:
(18)
(19)
PV- skutečná platba, rub;
PMT- pravidelná periodická platba, rub;
i - diskontní sazba, %;
k- počet přírůstků za rok (období);
n– doba (doba) vkladu, roky (měsíc);
– faktor současné hodnoty běžné anuity;
– faktor současné hodnoty zálohové anuity
Úkol 6: Smlouva o pronájmu bytu byla sepsána na 24 měsíců. Určete aktuální hodnotu leasingových splátek s 8% diskontní sazbou. Nájem 2550 rublů/měsíc. Za podmínek:
a) Nájemné se platí na začátku čtvrtletí;
b) Nájemné se platí na konci každého čtvrtletí.
Řešení:
A) 
b) 
Výpočet reálné hodnoty (nákladů) peněz je založen na dočasném posouzení peněžních toků, které vychází z následujícího. Kupní cena nemovitosti je nakonec určena výší příjmu, který investor očekává v budoucnu. Ke koupi nemovitosti a příjmu příjmů však dochází v různých časových obdobích. Jednoduché srovnání velikosti nákladů a výnosů ve výši, ve které se projeví ve finančních výkazech, je proto nemožné (například 10 milionů rublů připraveného příjmu obdrženého za 3 roky bude nižší než tato částka v současnosti) . Hodnotu peněz však ovlivňují nejen informační procesy, ale také hlavní podmínka investice – investované peníze musí generovat příjem
Převedení peněžních částek, které vznikají v různých časech, do srovnatelné formy se nazývá časový odhad peněžních toků. Tyto výpočty jsou založeny na složeném úročení, což znamená, že celá částka jistiny na vkladu musí být úročena, včetně úroků zbývajících na účtu z předchozích období.
Teorie a praxe používání složených úrokových funkcí je založena na řadě předpokladů: 1. Cash flow, ve kterém se částky liší velikostí, se nazývá cash flow.
2. Peněžní tok, ve kterém jsou všechny částky stejné, se nazývá anuita
3. Částky peněžních toků se vyskytují v pravidelných intervalech, nazývaných období
4. Příjmy získané z investovaného kapitálu se neodebírají z ekonomického obratu, ale přičítají se k fixnímu kapitálu
5. Částky peněžních toků vznikají na konci období (jinak je nutná příslušná úprava)
Podívejme se blíže na šest funkcí složeného úročení
1. Akumulovaná jednotková částka
Tato funkce vám umožňuje určit budoucí hodnotu stávajícího množství peněz na základě očekávané frekvence příjmu, doby akumulace a načítání úroků. Kumulovaná částka jednotky je základní funkcí složeného úročení, která umožňuje určit budoucí hodnotu pro dané období, úrokovou sazbu a známou částku v budoucnu.
FV = PV * (1 + i)n Příklad problému: Byla přijata půjčka ve výši 150 milionů rublů. po dobu 2 let ve výši 15 % ročně; % přírůstek se vyskytuje čtvrtletně. Určete nahromaděnou částku, která má být vrácena. 2. Aktuální hodnota jednotky (reverzní faktor)
Aktuální hodnota jednotky (reverze) umožňuje určit současnou (aktuální, současnou) hodnotu částky, jejíž hodnota je známa v budoucnu pro dané úrokové období. Jedná se o zcela opačný proces než složený úrok.
PV = FV / (1 + i)n Ukazuje současnou hodnotu peněžní částky, která má být v budoucnu přijata jako jednorázová částka
Příklad problému: Jaká je současná hodnota 1 000 $ přijatých na konci pátého roku při 10% složeném ročně? 3. Akumulace jednotky za určité období (budoucí hodnota anuity). Ukazuje, jaká bude po celém období hodnota řady stejných částek uložených na konci každého periodického intervalu, tzn. budoucí hodnotu anuity. (Anuita je peněžní tok, ve kterém jsou všechny částky stejné a vyskytují se ve stejných intervalech)
FVA = (1 + i)n – 1 i PMT Příklad problému: Určete budoucí hodnotu pravidelných měsíčních plateb 12 000 USD po dobu 4 let při úrokové sazbě 11,5 % a měsíčním skládání
4. Současná hodnota běžné anuity. Ukazuje současnou hodnotu jednotného toku příjmů, jako je příjem generovaný z pronájmu nemovitosti. První záznam nastane na konci prvního období; následující - na konci každého následujícího období
PVA = PMT * 1 - (1 + i)-n i Příklad úlohy: Určete výši půjčky, je-li známo, že na její splácení se ročně platí 30 000 USD po dobu 8 let se sazbou 15 %. 5. Faktor fondu obnovy Ukazuje částku stejného pravidelného příspěvku, který je spolu s úrokem nutný k nahromadění částky rovnající se FVA na konci určitého období. SFF = FVA * i (1 + i)n - 1 Příklad problému: Určete částku, která se má měsíčně ukládat do banky ve výši 15 % ročně na nákup domu v hodnotě 65 000 000 USD za 7 let. 6. Jednotková amortizační platba Zobrazuje stejnou pravidelnou platbu potřebnou k úplné amortizaci úvěru, tj. umožňuje určit výši platby potřebné ke splacení úvěru včetně úroků a splátky jistiny: PMT = PVA * i 1 - (1 + i)-n Příklad problému: Jaké by měly být měsíční splátky samospláceného úvěru 200 000 USD vydaných na 15 let s nominální roční sazbou 12 %? Téma 2. Trh s nemovitostmi a rysy jeho fungování
Podstatou posuzování hodnoty podniku vytvářejícího zisk je, že je stanovena současná hodnota zisku, který bude obdržen v prognózovaném období. Hodnota současné hodnoty zisku neodpovídá hodnotě budoucího zisku, protože zítra přijatá hřivna má menší hodnotu než dnes přijatá hřivna. Je to způsobeno především dvěma důvody. Za prvé, peníze generují příjem v průběhu času; za druhé, inflační procesy znehodnocují rubl. V tomto ohledu, aby bylo možné určit aktuální hodnotu zítřejší hřivny, je nutné provést příslušné výpočty.
Pro určení hodnoty majetku, který bude generovat příjem, je nutné určit současnou hodnotu peněz, které budou přijaty někdy v budoucnu.
Je známo a v podmínkách inflace je to mnohem zjevnější, že peníze v čase mění svou hodnotu. Hlavní operace, které umožňují porovnávat peníze v různých časech, jsou operace akumulace (navýšení) a diskontování.
Spoření je proces přeměny současné hodnoty peněz na budoucí hodnotu, za předpokladu, že investovaná částka je po určitou dobu držena na účtu, přičemž se získává pravidelně složený úrok.
Diskontování je proces snižování peněžních toků z investice na jejich současnou hodnotu.
Při oceňování jsou tyto finanční výpočty založeny na složitém procesu, při kterém se každý další výpočet úrokové sazby provádí jak z částky jistiny, tak z nezaplacených úroků naběhlých za předchozí období.
Je uvažováno celkem šest funkcí peněžní jednotky založené na složeném úročení. Pro zjednodušení výpočtů byly vyvinuty tabulky šesti funkcí pro známé míry příjmu a dobu akumulace (I an n navíc můžete použít finanční kalkulačku pro výpočet požadované hodnoty);
1 funkce: Budoucí hodnota peněžní jednotky (akumulované množství peněžní jednotky), (fvf, i, n).
Pokud se časové rozlišení provádí častěji než jednou ročně, vzorec se převede na následující:
k je frekvence akumulace za rok.
Tato funkce se používá, když je známa současná hodnota peněz a je nutné určit budoucí hodnotu peněžní jednotky při známé míře příjmu na konci určitého období (n).
Pravidlo 72x
Pro přibližné určení období pro zdvojnásobení kapitálu (v letech) je nutné vydělit 72 celočíselnou hodnotou roční míry návratnosti kapitálu. Pravidlo platí pro sazby od 3 do 18 %.
Typický příklad pro budoucí hodnotu peněžní jednotky by byl problém.
Určete, jaká částka se nahromadí na účtu do konce 3. roku, pokud dnes vložíte 10 000 rublů na účet, který přináší 10 % ročně.
FV=10000[(1+0,1)3]=13310.
Funkce 2: Aktuální hodnota jednotky (aktuální hodnota reverze (přeprodej)), (pvf, i, n).
Aktuální hodnota jednotky je převrácená hodnota její budoucí hodnoty.
Pokud se úrok počítá častěji než jednou ročně, pak
Funkce 3: Aktuální hodnota anuity (pvaf, i, n).
Anuita je série stejných plateb (příjmů), které jsou od sebe vzdáleny ve stejném časovém období.
Existují běžné a zálohové renty. Pokud jsou platby prováděny na konci každého období, pak je anuita běžná, pokud na začátku, jde o zálohovou anuitu.
Vzorec pro současnou hodnotu běžné anuity je:
PMT - stejné pravidelné platby. Pokud četnost časového rozlišení přesáhne 1x ročně, pak
Vzorec pro současnou hodnotu zálohové anuity:
5 funkce: Příspěvek ke znehodnocení peněžní jednotky (iaof, r, n)
Funkce je převrácená hodnota současné hodnoty běžné renty (funkce 3). Příspěvek na odpis peněžní jednotky slouží ke stanovení výše anuitní splátky na splacení úvěru vydaného na určité období při dané úrokové sazbě úvěru.
Amortizace je proces definovaný touto funkcí, který zahrnuje úroky z úvěru a splátku jistiny.
Pro platby prováděné častěji než jednou ročně se používá následující vzorec:
6 funkce: Faktor vyrovnávacího fondu (sff, i, n)
Tato funkce je inverzní k funkci akumulace jednotky za určité období. Faktor fondu obnovy ukazuje anuitní platbu, která musí být složena v daném procentu na konci každého období, aby byla po daném počtu období obdržena požadovaná částka.
Pro určení výše platby se používá vzorec:
Pro platby (příjmky) prováděné častěji než jednou ročně:
základní vzorec složeného úročení (1 + i)t, charakterizující akumulované množství jednotky. Všech pět složených úrokových funkcí je deriváty první (přímé) složené úrokové funkce: akumulované jednotkové funkce (budoucí hodnota jednotky). Každá z těchto funkcí předpokládá, že uložené peníze budou úročeny, dokud tam zůstanou. Každý faktor je založen na efektu složeného úroku, při kterém se přijatý úrok převádí na částku jistiny.
Důležitý vztah mezi funkcemi složeného úročení je následující: součet faktoru kompenzačního fondu (sloupec 3) a periodického úročení (i) se rovná příspěvku znehodnocení jednoho dolaru. Tento vztah ukazuje, že odpisový příspěvek na jednotku je součtem dvou prvků, jak je uvedeno výše. Jedním prvkem je úrok (návratnost investice); druhým je úhrada kapitálových investic (návratnost investičních prostředků). Výpočtem splátek úvěru na základě dolarového amortizačního poplatku dlužník splácí jistinu úvěru plus úrok po dobu trvání úvěru. Pokud jsou placeny pouze úroky, dlužník akumuluje částku jistiny na samostatném účtu na základě hodnot faktoru obnovy. Vzhledem k tomu, že ozdravný fond je úročen stejnou sazbou jako půjčka, na konci doby trvání půjčky se zbytek ozdravného fondu použije na splacení nesplacené jistiny půjčky.
Odpisový příspěvek ve výši jednoho dolaru (sloupec 6) tedy vždy převyšuje periodickou úrokovou sazbu, bez ohledu na dobu trvání půjčky.
Podobně současná hodnota běžné anuity (sloupec 5) nikdy nepřekročí faktor rovný podílu 1 USD děleného periodickou úrokovou sazbou.
Základem finanční matematiky je následujících šest funkcí
složený úrok (nebo šest funkcí peněz):
1. Budoucí hodnota jednotky(akumulované jednotkové množství) – F V ( Budoucí hodnota).
2. Budoucí hodnota anuity(akumulace jednotky za období) – FVA ( Budoucí hodnota anuity).
3. Faktor pojistného fondu(pravidelný příspěvek do spořícího fondu) – SFF ( Faktor klesajícího fondu).
4.Aktuální jednotkové náklady(slevování, reverze ) – PV ( Současná hodnota).
5.Současná hodnota anuity – PVA ( Současná hodnota anuity).
6.Příspěvek na odpis jednotky – IAO ( Instalace odpisů jedna).
Tyto funkce se používají v různých finančních výpočtech. Uvažujme každou z těchto funkcí z hlediska její matematické formulace a rozsahu aplikace.
Inkrementační funkce
Budoucí hodnota peněžní jednotky (akumulované množství jednotky)
Tato funkce vám umožňuje určit budoucí hodnotu investované peněžní jednotky na základě očekávané: míry návratnosti (r), doby akumulace (n) a frekvence (frekvence) připisování úroků (m):
FV = PV * (1+ r)n = PV * FM1(r, n),
kde FV je budoucí hodnota peněz;
PV – aktuální hodnota peněz;
r – míra příjmu;
n – počet akumulačních období.
FM1(r, n) = (1+ r)n – násobící faktor, jehož hodnoty jsou vypočteny pro různé hodnoty (r) a (n) a jsou uvedeny v příslušných finančních tabulkách. Někdy je označen jako FVIF(z angličtiny Úrokový faktor budoucí hodnoty– procentní násobek budoucí hodnoty).
Ekonomický význam multiplikátoru FM1(r, n) je ten, že ukazuje, čemu se bude rovnat jedna peněžní jednotka po (n) obdobích při dané úrokové sazbě (r). Platnost vzorce je zřejmá (obrázek 6.7).
Pokud je uložena částka PV, pak se po jednom akruálním období tato částka rovná:
FV1= PV + PV * r = PV * (1 + r),
po dvou obdobích se bude rovnat:
FV2= FV1+ FV1* r = FV1* (1+ r) = PV (1 + r)2,
FVn= FVn−1 + FVn−1* r = FVn−1* (1+ r) = PV (1 + r)n.
Obrázek 6.7 – Budoucí hodnota peněžní jednotky
Příklad. 1000 $ je investováno do banky s 10 % ročně. Jaká částka se nahromadí na účtu po 5 letech? Převedeme 10 % na relativní jednotky, k tomu je vydělíme 100 % a dostaneme 10 % / 100 % = 0,1.
FV5= 1000 (1+ 0,1)5= 1610,5.
Pravidlo 72. Někdy se při výpočtech musíte potýkat s problémem určení počtu akruálních období, po kterých se původně vložená částka zdvojnásobí. Známé „Pravidlo 72“ vám umožňuje vyřešit tento problém velmi jednoduše, podle kterého se počet období potřebných ke zdvojnásobení počáteční částky vypočítá podle vzorce:
n = 72/r.
Toto pravidlo vám umožňuje získat přesné výsledky s hodnotami r: 3 %< r < 18%. Срабатывает правило и в обратном порядке для определения ставки дохода, при которой депонированная сумма удвоится.
Například, při sazbě 6 % ročně se částka zdvojnásobí za 72 / 6 = 12 let.
Úrok se počítá častěji než jednou ročně. Výše uvedené výpočty vycházely z předpokladu, že úroky nabíhají jednou ročně. Ke akumulaci však může docházet nejen jednou ročně, ale i častěji např. jednou za čtvrtletí, jednou za měsíc atd. V tomto případě je nutné vydělit úrokovou sazbu četností akumulace během roku ( m) a počet let akumulace (n ) vynásobený četností akumulace během roku (m). Výpočtový vzorec bude vypadat takto:
FV = PV (1 + r/m)n*m,
kde m je četnost načítání úroků za rok;
n je počet let, během kterých dochází k akumulaci.
Čím častěji se úrok počítá, tím větší je akumulovaná částka. Výše uvedená transformace platí pro všech šest funkcí.
6.2.1.2. Budoucí hodnota anuity (akumulace jedné jednotky za období)
Tato funkce ukazuje, jaké budou náklady na sérii rovných
platby hodnoty (A) po uplynutí stanovené lhůty pro jejich zvýšení (n) (obrázek 6.8).
Obrázek 6.8 – Budoucí hodnota anuity post-numerando
Z obrázku 6.8 je zřejmé, že budoucí hodnotu původního peněžního toku (anuity) post-numerando (FVApst) lze odhadnout jako součet časově rozlišených příjmů.
Je zřejmé, že budoucí hodnota poslední platby se shoduje s hodnotou samotné platby žádná doba výstavby:
Budoucí hodnota předposlední platby bude během jednoho období zvýšena a bude:
Všechny platby se navyšují stejným způsobem. Budoucí náklady na první platbu se budou během (n-1) období zvyšovat a budou:
FVn-1= А·(1+r) n-1.
Jejich součet lze vyjádřit takto:
FVApst = А·(1+r)n-1+ А·(1+r)n-2+ ...+ А·(1+r) + А
Vyjmeme (A) ze znaménka závorky a označíme (1+r) (q). Dostaneme výraz:
FVA = A·(qn-1+ qn-2+ ...+ q + 1).
Nyní je jasně vidět, že polynom obsažený v závorkách se nazývá násobící faktor a značí se ( FM3(r, n)), představuje součet členů geometrické posloupnosti (S), ale zapsaný v obráceném pořadí:
S = 1 + q + q2… + qn-2+ qn-1
Vynásobte obě strany této rovnice (q) a dostanete:
Sq = q + q2… + qn-1+ qn
Odečtením předchozí rovnice od výsledné rovnice dostaneme:
S·q – S = qn–1.
S = (qn– 1) / (q – 1)
Nyní dosazením jeho hodnoty (1+r) místo (q) získáme vzorec pro výpočet násobícího faktoru:
FM3(r, n) = S = ((1+r)n– 1)/r
Proto výraz pro budoucí hodnotu běžné anuity v hodnotě (A) pro (n) období bude:
FVApst = А·FM3(r, n) = А·((1+r)n– 1)/r).
Tento multiplikátor se také nazývá procentní multiplikátor budoucí hodnoty anuity. FVIFA( r , n) – Úrokový faktor budoucí hodnoty anuity. Ekonomický význam násobícího faktoru spočívá v tom, že ukazuje, jaká bude celková hodnota fixní (za určité období) kumulované anuity jedné peněžní jednotky do konce doby její platnosti.
Protože hodnoty multiplikátoru (FM3(r, n)) závisí pouze na (r) a (n), jsou vypočteny pro různé hodnoty (r) a (n) a jsou uvedeny v odpovídajících finančních tabulky.
Příklad. Pokud investujete 900 $ ročně na bankovní účet s 10 % ročně, kolik se nashromáždí po 5 letech?
FVA5= 900·((1+0,1)5− 1) / 0,1) = 5494,59
Nyní zvažte případ zálohové anuity (obrázek 6.9).
Jako v obvyklém případě uvažujme nastřádané částky na konci prvního, druhého... n- období:
FV1= А·(1+r) ,
FV2= A·(1+r)2,
…………………………………………….……….
FVn= A (1+r)n
FVApre = А·(1+r)n+А·(1+ r)n −1+...+ А·(1+r)2+ А·(1+r).
Obrázek 6.9 – Budoucí hodnota zálohové anuity (prenumerando)
Porovnáním vzorců pro výpočet FVApst a FVApre je snadné to ověřit
FVApre = FVApst (1+ r).
Provedením odpovídajícího násobení dostaneme:
FVApre = FVApst·(1+ r) = А· ((1+r)n– 1)/r) (1+ r) =
А· ((1+r)n+1– 1 – r)/r) = А· ((1+r)n+1– 1)/r) – 1).
Opakující se vklady lze provádět více než jednou ročně a úroky nabíhají podle toho častěji. Zároveň se zvýší počet časového rozlišení o m krát a bude (n m) a rychlost se sníží o m krát a bude (n/m). Poté bude mít dříve získaný vzorec tvar:
FVАn= А·(((1+r/m)(n+1)m– 1)/r/m) – 1).
Čím častěji jsou příspěvky poskytovány, tím větší je akumulovaná částka.
Příklad. Pokud vložíte 75 $ měsíčně na bankovní účet s 10 % ročně, kolik se nashromáždí po 5 letech?
FVA5= 75 (((1+0,1/12) 5·12– 1) / 0,1/12 = 5807,78.
Faktor pojistného fondu
Tato funkce vám umožňuje vypočítat výši pravidelné platby (A nebo SFF, jak se v tomto případě nazývá) potřebnou k akumulaci požadované částky (FVA) po (n) platebních obdobích při dané úrokové sazbě (r) (obrázek 6.10).
Obrázek 6.10 – Pravidelný příspěvek do spořícího fondu
Ze vzorce pro budoucí hodnotu anuity (FVA = A·FM3(r, n)) vyplývá, že hodnota každé platby (SFF nebo A) v případě běžné anuity se vypočítá takto:
SFFpst = Аpst = FVA / FM3(r, n) = FVA·r/((1 + r)n− 1) = FVA·FM5(r, n) .
kde FM5(r, n) = r/((1 + r)n− 1) je násobící faktor, jehož hodnoty jsou vypočteny pro různé hodnoty (r) a (n) a jsou uvedeny v odpovídající finanční tabulky.
Ekonomický význam multiplikátoru FM5(r, n) je ten, že ukazuje množství pravidelných plateb nezbytných k nashromáždění jedné peněžní jednotky po (n) obdobích.
Příklad. Musíte ušetřit 1000 $ za 4 roky při bankovní sazbě 10%. Kolik budete muset investovat každý rok?
SFF = 1000 (0,1 / ((1 + 0,1)4− 1) = 215,47.
V případě zálohového kompenzačního fondu (odpovídajícího zálohové anuitě) je vzorec pro výplatu podílu (SFFpre):
SFFpre = FVA·r/((1 + r)(n+1)− 1− r).
Diskontní funkce
HLE. Grigorieva
Investiční management
Tréninkový modul
Ulan-Ude
Nakladatelství VSTU
| úvod………………………………………………………………………………….………………………………… | ||
| Téma 1. Pojem a klasifikace investic………………………………..………. | ||
| 1.1. | Pojem investic a jejich klasifikace………………………………………...…………………………. | |
| 1.2. | Investiční proces a mechanismus investičního trhu……………………….………………. | |
| 1.3. | Šest funkcí složeného úročení……………………………………………………………….... | |
| Téma 2. Ekonomické, právní a organizační základy investiční činnosti v Ruské federaci………………………..……………………………….. .. | ||
| 2.1 | Regulační rámec pro investiční aktivity v Ruské federaci……………………………………………………… | |
| 2.2 | Způsoby státní regulace investiční činnosti………………………. | |
| Kontrolní otázky………………………………………………………………………………………. | ||
| Testy …………………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Téma 3. Zdroje financování investiční činnosti…………. | ||
| 3.1 | Klasifikace zdrojů financování investiční činnosti podniku...... | |
| 3.2 | Základní způsoby financování investiční činnosti……………………………………………………… | |
| 3.3 | Analýza cenové a kapitálové struktury………………………………………………………………………………………. | |
| 3.4 | Metody výpočtu investičních potřeb …………………………………………………………. | |
| Kontrolní otázky………………………………………………………………………………………. | ||
| Testy …………………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Téma 4. Investiční plánování. Fáze sestavení podnikatelského plánu ………. | ||
| 4.1 | Podstata a klasifikace investičních projektů ………………………………………………………………… | |
| 4.2 | Životní cyklus investičního projektu ………………………………………………………….. | |
| 4.3 | Metodika pro vypracování a struktura podnikatelského plánu investičního projektu………………………. | |
| Kontrolní otázky………………………………………………………………………………………. | ||
| Testy …………………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Téma 5. Hodnocení efektivity investičního projektu…….………………….. | ||
| 5.1 | Hlavní aspekty hodnocení účinnosti investičních projektů………………………………. | |
| 5.2 | Posouzení finanční životaschopnosti investičního projektu……………………………………………… | |
| 5.3 | Posuzování ekonomické efektivnosti investičních projektů……………………………………………………………… | |
| Kontrolní otázky………………………………………………………………………………………. | ||
| Testy …………………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Úkoly k praktickým cvičením…………………………………………………………………………………………. | ||
| Téma 6. Řízení rizik investičního projektu………………………………. | ||
| 6.1 | Podstata a klasifikace rizik investičního projektu……………………………………………….. | |
| 6.2 | Řízení rizik investičního projektu………………………………………………………………. | |
| 6.3 | Metody hodnocení rizik projektu………………………………………………………………………………………... | |
| 6.4 | Techniky pro řízení rizik projektu……………………………………………………………………………… | |
| Kontrolní otázky …………………………………………………………………………………………. | ||
| Testy……………………………………………………………………………………………………………………….. | ||
| Téma 7. Hodnocení investiční kvality a efektivity finančních investic………………………………………………………………………………………………………… | ||
| 7.1. | Výpočet ziskovosti transakcí s cennými papíry………………………………………………………. | |
| 7.2 | Výpočet budoucího kapitálu ve finančních investicích………………………………………………………. | |
| 7.3 | Výpočet tržní hodnoty cenných papírů………………………………………………………………... | |
| 7.4 | Zvláštnosti hodnocení investic v oběhu směnek………………………………………………………………. | |
| Kontrolní otázky………………………………………………………………………………………. | ||
| Testy …………………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Úkoly k praktickým cvičením………………………………………………………………………………………….. | ||
| Téma 8. Tvorba investičního portfolia……………………………………………… | ||
| 8.1 | Koncept a typy investičních portfolií……………………………………………………………… | |
| 8.2 | Vrácení portfolia ………………………………………………………………………………………… | |
| 8.3 | Portfoliové riziko ………………………………………………………………………………………… | |
| Kontrolní otázky………………………………………………………………………………………. | ||
| Testy …………………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Problémy pro praktická cvičení ………………………………………………………………………………………………… | ||
| Příloha 1………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Dodatek E2………………………………………………………………………………………………. | ||
| Dodatek 3……………………………………………………………………………………………………………… |
Téma 1. Investice. Podstata investičního procesu
Šest funkcí složeného úročení
První funkcí složeného úročení je faktor budoucí hodnoty současného (dnešního) kapitálu.
| FV = PV*(1+i)n | (1.4) |
FV je budoucí hodnota současného kapitálu;
PV – současná hodnota kapitálu (současná hodnota);
i – úroková sazba;
n – počet období.
V jakých případech se používá vzorec složeného úroku:
Máme nějaké množství peněz. Chceme to dát do banky v určitém procentu na určité období (rok, měsíc, čtvrtletí). Zároveň chceme vědět, jakou hodnotu budou mít naše peníze na konci doby uložení.
Příklad.Řekněme, že máme 1 rub. a vložili jsme ji do banky na začátku roku za 10 % ročně na 5 let. Kolik bude stát tento rubl? po 5 letech?
FV = 1 rub.*(1+10%) 5 = 1,61 rub.
Příklad. Vložili jste peníze do banky 1000 rublů. ve výši 24 % ročně po dobu 1 roku. Ke kumulaci (tj. akruální) dochází dvakrát ročně pevnou roční sazbou. Je nutné určit periodickou míru (i p), budoucí hodnotu běžného kapitálu (FV), výši návratnosti kapitálu (D) a skutečnou roční míru (i f).
Stanovme periodickou sazbu, v tomto případě - pololetní: i p = i g /2 = 24 % /2 =12 %
Určíme budoucí hodnotu současného kapitálu: FV = 1000(1+0,12) 2 = 1254,4 rublů.
Určíme výši příjmu z kapitálu: D = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 rublů.
Určíme skutečnou roční sazbu: i f = (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25 %
Skutečná sazba zahrnuje složený úrok, je tedy vždy vyšší než nominální sazba. Navíc, čím více úrokových období v roce bude, tím výraznější bude tento rozdíl.
Příklad. Kolik let bude trvat, než se kapitál zdvojnásobí, je-li známo, že roční nominální sazba, za kterou byly peníze uloženy v bance, je 12 %?
Řešení tohoto problému je založeno na použití tzv. „pravidla 72“. Podle tohoto pravidla je počet let, po kterých se investovaná částka zdvojnásobí, určen vzorcem: 72 / nominální roční sazba %
72 / 12 % = 6 let.
Pravidlo poskytuje uspokojivou odpověď pro sazby v rozmezí od 3 do 18 %.
Druhou funkcí složeného úroku je zohlednění budoucí hodnoty anuity.
Je určena k určení budoucí hodnoty stejných kapitálových akumulací za určitý počet období, tzn. kdy např. budeme po určitou dobu (1,2,3 roky atd.) investovat stejné množství peněz (RMT).
RMT ( Způsob platby) – jednorázová platba v období k. (období jsou stejná).
Řada takových plateb se nazývá anuita.
Rozlišovat obyčejný A zálohová anuita.
Budoucí hodnota běžné anuity (platby na konci každého období). Jeho budoucí hodnota je vyjádřena vzorcem:
Příklad. Abyste si naspořili na auto, rozhodnete se vložit do banky 1 000 $ každý rok s 12 % ročně po dobu 5 let. Jak nejlépe uložit peníze (na konci nebo na začátku roku), abyste za 5 let dostali větší částku a kolik peněz budete mít na účtu po 5 letech?
Pojďme si nejprve určit, kolik peněz dostaneme za 5 let, pokud budeme na konci každého roku spořit:
Ukazuje se tedy, že investování na začátku každého roku je mnohem výnosnější než na konci.
Třetí funkcí složeného úroku je faktor kompenzačního fondu.
Faktor pojistného fondu- jedná se o částku platby, kterou je nutné v každém období vložit (investovat) při dané roční úrokové sazbě, aby v posledním období přišla na účet určitá (požadovaná) částka. Tito. Řekněme, že chceme získat 1 milion rublů za pět let. Chcete-li to provést, můžete vložit peníze do banky. Známe výši bankovních úroků. Faktor kompenzačního fondu (RFF) určuje výši pravidelných stejných plateb, které budeme muset během těchto 5 let platit. To znamená, že FFF je totéž jako RMT.
Rozlišuje se mezi fondem pravidelného kompenzačního fondu a faktorem zálohového kompenzačního fondu v závislosti na tom, kdy (na konci nebo na začátku období) probíhají platby.
Faktor běžného kompenzačního fondu(platby na konci každého období):
2. a 3. funkce složeného úrokování jsou propojeny pomocí vzorců. 2. funkce je stanovení FV a 3. je stanovení PV.
Příklad. Půjčili jste si peníze od přítele a za 5 let musíte vrátit 1000 $. Abyste si usnadnili splácení svých dluhů, rozhodnete se každý rok vložit peníze do banky. Bankovní sazba je rovněž 15 % ročně. Jaký je nejlepší způsob vložení peněz: na začátku roku nebo na konci roku? Kolik byste měli vložit do banky, abyste splatili těchto 1000 $ na konci 5. roku?
1. Faktor běžného kompenzačního fondu:
| FFOV = | _____15%___ | *1000$ | = 148 $ |
| (1+15%) 5 - 1 |
- Faktor zálohového kompenzačního fondu:
2. Faktor zálohového kompenzačního fondu:
| FFAW = | ________1,25%__________ | *10000$ | = 111,5 $ |
| (1+1,25%) 5*12+1 – (1+1,25%) |
Je pro vás výhodnější ušetřit 111,5 $ každý měsíc.
Čtvrtou funkcí složeného úročení je faktor současné hodnoty budoucího kapitálu.
Současná hodnota budoucího kapitálu je současná hodnota kapitálu, který má být přijat v budoucnosti. Současnou hodnotu budoucího kapitálu lze vyjádřit matematicky takto:
PV = FV / (1+i) n(1.9)
Jak jste si všimli, 4. a 1. funkce složeného úročení jsou propojeny jedním vzorcem. 1. funkce určuje budoucí hodnotu současného kapitálu.
Příklad. Rozhodnete se ušetřit 12 000 $. Tuto částku budete potřebovat za 4 roky. Kolik peněz byste dnes měli vložit do banky při 10 % ročně, abyste získali 12 000 $ za 4 roky?
PV = 12 000 USD /(1+10 %) 4 = 8 196 USD
Pátou funkcí složeného úroku je faktor současné hodnoty anuity.
5. funkce je určena k určení aktuální hodnoty (PV) stejných kapitálových akumulací za určitý počet období, tzn. když například investujeme stejné množství peněz (RMT) po určitou dobu (1,2,3 roky atd.) se známou mírou návratnosti ( i).
V tomto smyslu je 5. funkce poněkud podobná 2. složené úrokové funkci, jen s tím rozdílem, že 2. určuje FV.
Rozlišuje se mezi faktorem současné hodnoty běžné anuity (platby na konci každého období) a zálohové anuity (platby na začátku každého období).
Současná hodnota běžné anuity:
2. Pokud se platby provádějí na začátku každého roku:
Záloha na odpisy(platby na začátku období):
2. Pokud jsou platby provedeny na začátku roku:
| RMTn = | 15000$*12%_____ | = 3715$ |
| (1+12%) – (1+12%) – (5 – 1) |
Kontrolní otázky
1. Popište pojem investice, uveďte možnosti jejich klasifikace.
2. Jaké jsou hlavní rozdíly mezi investicemi a kapitálovými investicemi?
3. Co je investiční činnost a z jakých etap se skládá?
4. Jaké předměty investiční činnosti lze identifikovat? Jejich rozdíly a hlavní vlastnosti?
5. Předměty investiční činnosti, jejich rozdíly a hlavní charakteristiky.
6. Příjemce jako předmět investiční činnosti?
7. Jaká je struktura investičního trhu?
8. Jaká je struktura investičního trhu v Rusku? Vyjmenujte a popište jeho součásti.
1.1. Která z následujících možností není ve většině případů investicí?
a) nákup cizí měny;
b) investice do dluhopisů na sekundárním trhu;
c) investice do vkladových certifikátů;
d) leasingové financování;
e) investice do akcií na primárním trhu.
1.2. Hlavní investiční cíle jsou:
a) vytváření zisku;
b) dosažení sociálního účinku;
c) akumulace kapitálu
1.1. Přímé investice zahrnují:
a) přilákání finančních zprostředkovatelů k realizaci investičních projektů;
b) využití vnitřních zdrojů financování investic;
c) přímá účast investora na výběru investičních objektů a kapitálové investice.
1.2. Který z následujících ekonomických subjektů není účastníkem (vykonavatelem) investiční činnosti?
a) investor;
b) účinkující;
c) návrhář;
d) dodavatel;
d) pojišťovna.
1.3. V jaké oblasti probíhá investiční činnost?
b) odvolání;
c) výroba materiálu;
d) nehmotná produkce.
1.4. Investiční činnost komerčních bank v oblasti reálného investování má tyto formy:
a) investiční úvěry;
b) investování do cenných papírů;
c) financování projektu;
d) majetková účast.
1.7. Které z následujících jsou hmotné prvky investic?
a) komunikace;
b) přírodní zdroje;
c) investice do lidského kapitálu;
d) cenné papíry;
e) patenty, licence.
1.8. Co je základem dělení investic na reálné, finanční a investice do nehmotného majetku?
a) investiční předměty;
b) reprodukční formy;
c) fáze investičního procesu;
d) předměty investiční činnosti.
1.9. Koncept investičního multiplikátoru vyvinul:
a) R.F. Kahn;
b) Samuelson;
c) J. M. Keynes.
1.10. Investice do nehmotného majetku jsou:
a) investice do značek, ochranných známek, autorských práv atd.;
b) náklady na pořízení zařízení environmentálního managementu;
c) investice do pracovního kapitálu podniku.
Úlohy k praktickým cvičením
Úkol 1.1.
Vypočítejte roční platbu za byt v hodnotě 800 tisíc rublů, zakoupený na splátky po dobu 10 let za 12%.
Problém 1.2.
Vypočítejte roční příspěvek ve výši 12 % na nákup bytu v hodnotě 800 tisíc rublů za 10 let.
Problém 1.3.
Vypočítejte příspěvek ve výši 12% na nákup bytu v hodnotě 800 tisíc rublů za 10 let.
Problém 1.4.
Byt byl prodán za 800 tisíc rublů, peníze přinášejí 12% ročního příjmu. Jaká je mezní hodnota nemovitosti, kterou lze koupit za 10 let?
Problém 1.5.
Jaké jsou maximální náklady na nemovitost, kterou lze zakoupit za 10 let, pokud ušetříte 80 tisíc rublů ročně? ve 12%?
Problém 1.6.
Kolik to stálo za byt zakoupený na splátky po dobu 10 let za 12 % ročně, pokud je roční platba 80 tisíc rublů?
