Sentyabr barcha aktivlar sinflari uchun kuchli oy bo'ldi. "Pul" ga ko'ra, deyarli barcha investitsiyalar ijobiy natijalar berdi. Shu bilan birga, eng yuqori daromad oltinga investitsiyalardan tushdi, bu nafaqat qimmatbaho metallar narxining oshishi, balki rublning zaiflashuvidan ham foyda ko'rdi. Investorlarga investitsiya fondlarining asosiy toifalari, depozitlar, shuningdek, Rossiya aktsiyalarining ko'pchiligi yuqori foyda keltirdi. So'nggi yillarda mashhur bo'lgan obligatsiyalar fondlari, shuningdek, AQSh sanksiyalari kuchaytirilsa, eng ko'p zarar ko'rishi mumkin bo'lgan Sberbank aktsiyalari foydasiz bo'lib qoldi.
Vitaliy Kapitonov
Besh oy o'tgach, oltin oy uchun eng yaxshi daromad keltiradigan sarmoyaga aylandi. "Pul" ga ko'ra, 15 avgust kuni qimmatbaho metalga 100 ming rubl sarmoya kiritgan investor bir oyda deyarli 5 ming rubl olishi mumkin edi. daromad. Bu joriy yilning ikkinchi eng yuqori oylik natijasidir. Investor aprel oyida ko'proq daromad olishi mumkin edi - 9,3 ming rubl.
Qimmatbaho metalga investitsiyalarning yuqori rentabelligi qisman uning narxining oshishi bilan bog'liq. Avgust oyi oʻrtalaridan beri oltin narxi 2,4 foizga oshib, bir troya untsiyasi uchun 1205 dollarni tashkil qildi. Bu AQShdagi inflyatsiya kutilmalarini aks ettirdi. AQSh Savdo vazirligi ma'lumotlariga ko'ra, mamlakatda inflyatsiya iyuldagi 2,9 foizdan avgust oyida 2,7 foizgacha pasaygan, biroq Fed maqsadlaridan yuqoriligicha qolmoqda. Shunday qilib, inflyatsiya o'sishda davom etmoqda, bu Fedga keskin o'zgarishlarsiz stavkalarni oshirish imkonini beradi. Qimmatbaho metal AQSh va Kanada rasmiylari NAFTA bo'yicha yangi kelishuv bo'yicha murosaga kelishga urinishlarini davom ettirayotgani haqidagi xabar bilan qo'llab-quvvatlandi. "Ushbu yangilik oltin bozorida og'irlik qilayotgan va dollarni qo'llab-quvvatlagan savdo tashvishlarini engillashtiradi", dedi Sberbank Investment Research tovar strategi Mixail Sheybe. Oltin narxining ko'tarilishi ta'sirini Rossiyada dollar kursining ko'tarilishi (+2,5%) kuchaytirdi. Natijada, qimmatbaho metalga rubl investitsiyalari katta daromad keltirdi.
Biroq, oltinga keyingi sarmoyalarga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lish kerak, deydi bozor ishtirokchilari. Qimmatbaho metalga sarmoya kiritish uchun asosiy xavf AQSh va Xitoy o'rtasidagi savdo qarama-qarshiligining kuchayishi bo'lib qolmoqda. "Siyosiy bosim omili chiqarib tashlandi, ya'ni yangi to'siqlarning paydo bo'lishi amalda bajarilgan kelishuvdir, chunki voqealarning bu rivojlanishi oltin uchun salbiy, chunki himoya aktivi sifatida dollarga talab ortadi", - deydi Mixail Sheybe. .
Oltinga investitsiyalar qanday daromad keltirdi (%)
Manbalar: Bloomberg, Reuters, Sberbank.
O'zaro investitsiya fondlari eng daromadli moliyaviy mahsulotlar qatorida qolmoqda va boshqaruv kompaniyalarining ayrim mahsulotlari oltindan yuqori marjani ta'minlay oldi. Oktyabr oyida eng muvaffaqiyatli investitsiyalar metallurgiya, telekommunikatsiya va neft-gaz kompaniyalariga yo'naltirilgan sanoatning aktsiyadorlik fondlariga kiritildi. Investfunds ma'lumotlariga ko'ra, "Money" ma'lumotlariga ko'ra, oy oxiriga kelib bunday fondlarga investitsiyalar xususiy investorlarga 2,2 ming rubldan 5,2 ming rublgacha olib kelishi mumkin edi.
Boshqa toifadagi fondlar ham yuqori daromad keltirdi: indeks fondlari, aralash investitsiyalar va yevrobondlar. Ushbu toifadagi mablag'lar o'z investorlarini 200 rubldan olib kelishi mumkin edi. 4 ming rublgacha 100 ming investitsiyalar uchun.
Xususiy investorlar tomonidan qo'llab-quvvatlangan obligatsiyalar salbiy natijalarga olib keldi. Ushbu toifadagi mablag'lar konservativ hisoblanadi, shuning uchun xususiy investorlarning yo'qotishlari ramziy edi - 1 ming rublgacha. Bunday sharoitda investorlar obligatsiya fondlarida foyda olishni boshladilar. Investfunds ma'lumotlariga ko'ra, avgust oyida chakana investorlar obligatsiya fondlaridan 4 milliard rublni olib qo'yishgan. Ular 2014 yil dekabr oyida ushbu toifadagi mablag'larni tezroq olib qo'yishdi. Keyin rubl kursining devalvatsiyasi va ichki bozorda kurslarning tez o'sishi fonida investorlar mablag'lardan 4,5 milliard rubldan ortiq mablag'ni olib qo'yishdi.
Investorlar bo'shatilgan likvidlikdan qisman xavfliroq kapital mablag'larini sotib olish uchun foydalanadilar. Ushbu toifadagi fondlarga investitsiyalar hajmi avgust oyida 3,5 milliard rubldan oshdi, bu 500 million rublni tashkil etadi. iyul oyida diqqatga sazovor joylar hajmidan ko'proq. Xavfli strategiyalarga talab ketma-ket oltinchi oy o'sib bormoqda va investitsiyalar hajmi chakana fondlarga jami tushumning tobora katta qismini egallab bormoqda. Telekommunikatsiya va neft va gaz fondlari investorlar orasida eng katta talabga ega.
O'zaro fondlarga investitsiyalar qanday daromad keltirdi (%)
|
Manbalar: Milliy menejerlar ligasi, Investfunds.
Avgust autsayderlari - aktsiyalar Pul reytingida to'rtinchi o'rindan uchinchi o'ringa ko'tarildi. O'tgan oyda MICEX indeksiga investitsiyalar chakana investorlarga 3,4 ming rubl keltirgan bo'lar edi. Shu bilan birga, ko'rib chiqilayotgan davrning boshlanishi bunday yuqori natijani bashorat qilmadi. 15 avgustdan 18 avgustgacha bo'lgan davrda MICEX indeksi 1,2% ga kamaydi. Biroq, 24 avgustdan keyin vaziyat yaxshilandi. Uch hafta mobaynida indeks deyarli 5% ga ko'tarildi va 2374 punktgacha ko'tarildi. Bu mart oyida o'rnatilgan rekorddan atigi 2 pog'ona past.
Biroq, sentyabr oyida rivojlanayotgan va rivojlangan mamlakatlarning ko'plab fond indekslari ijobiy dinamikani ko'rsatdi. Bloomberg hisob-kitoblariga ko'ra, Rossiya indekslari dollar hisobida atigi 4,4 foizga o'sgan. Faqat Turkiya indekslari kuchliroq o'sishni ko'rsatib, 5,9-6,3 foizga o'sdi. Rivojlangan mamlakatlar ko'rsatkichlari orasida Italiya FTSE MIB yetakchi bo'ldi, u oy davomida 3,4 foizga o'sdi.
ALROSA, Gazprom, MMC Norilsk Nikel va Magnit aktsiyalari eng ko'p o'sdi: bu qimmatli qog'ozlar bo'yicha investor 4,2-8,3 ming rubl daromad olishi mumkin edi. har yuz ming investitsiya uchun. Olma Investment Company yetakchi tahlilchisi Anton Startsevning so‘zlariga ko‘ra, investorlarning ALROSA qimmatli qog‘ozlariga bo‘lgan qiziqishi moliya vaziri Anton Siluanovning kompaniya sof foydasining 75 foizidan dividendlar to‘lash uchun foydalanishi mumkinligi haqidagi bayonoti bilan quvvatlangan.
Umumiy rasmdan istisno bu RusHydro, Rostelecom, Aeroflot aktsiyalari bo'lib, investitsiyalar kamida 200 rubl zarar keltirishi mumkin edi. 1,4 ming rublgacha. Maksimal yo'qotishlar Sberbank qimmatli qog'ozlariga pul qo'ygan investorlar uchun bo'lardi - 2,1 ming rubl. Uning aktsiyalari AQSh Davlat departamenti rasmiylarining izohlari bosimi ostida qolmoqda, ular noyabr oyida bankka qarshi sanksiyalar qo‘llanilishi mumkinligini istisno qilmaydi. Bunday istiqbollar xalqaro investorlarni qo'rqitadi va ularni nafaqat OFZ, balki bankning qimmatli qog'ozlaridan ham chiqishga majbur qiladi.
Avgust va sentyabr oylarida inqirozdan so'ng, Sberbank aktsiyalari sarmoya uchun jozibador bo'ldi, deydi tahlilchilar. "Rossiyaning eng yirik banki qimmatli qog'ozlarining ko'tarilishi ehtimoli juda katta va ularni sotib olish xavfi o'zini oqlaydi, hozircha o'rta muddatli investorlar har bir aksiya uchun 180 rubl miqdorida foyda olishga e'tibor qaratishlari kerak", deydi ALOR Broker. tahlilchi Aleksey Antonov.
Aktsiyalarga investitsiyalar qanday daromad keltirdi (%)
|
Maydon tepasida K (\displaystyle K) Va e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\nuqtalar,e_(n))- ichida asos L (\displaystyle L).
- Kvadrat shakl, agar uning matritsasining barcha burchak minorlari qat'iy musbat bo'lsa, musbat aniq hisoblanadi.
- Kvadrat shakl manfiy aniq, agar uning matritsasining barcha burchak minorlarining belgilari almashinsa va 1-tartibdagi minor manfiy bo'lsa.
Ikki chiziqli shakl qutbdan musbat aniq kvadratik shaklga barcha nuqta aksiomalarini qanoatlantiradi.
Kanonik ko'rinish
Haqiqiy holat
Bo'lgan holatda K = R (\displaystyle K=\mathbb (R))(haqiqiy sonlar maydoni), har qanday kvadrat shakl uchun uning matritsasi diagonal bo'lgan asos mavjud va shaklning o'zi kanonik ko'rinish(oddiy ko'rinish):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 - x p + 1 2 - ⋯ - x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*))Qayerda r (\displaystyle r)- kvadratik shaklning darajasi. Degenerativ bo'lmagan kvadratik shaklda p + q = n (\displaystyle p+q=n), va degeneratsiya holatida - p+q<
n
{\displaystyle p+q
Kvadrat shaklni kanonik ko'rinishga keltirish uchun odatda Lagranj usuli yoki ortogonal asos o'zgarishlaridan foydalaniladi va berilgan kvadrat shaklni bir necha usul bilan kanonik shaklga keltirish mumkin.
Raqam q (\displaystyle q)(salbiy shartlar) deyiladi inertsiya indeksi kvadrat shakli va soni berilgan p - q (\displaystyle p-q)(musbat va salbiy atamalar soni orasidagi farq) deyiladi imzo kvadratik shakl. E'tibor bering, ba'zida kvadrat shaklning imzosi juftlikdir (p , q) (\displaystyle (p,q)). Raqamlar p , q , p - q (\displaystyle p,q,p-q) kvadratik shaklning invariantlari, ya'ni. uni kanonik shaklga tushirish usuliga bog'liq emas ( Silvestrning inersiya qonuni).
Murakkab holat
Bo'lgan holatda K = C (\displaystyle K=\mathbb (C))(kompleks sonlar maydoni), har qanday kvadrat shakl uchun shakl kanonik shaklga ega bo'lgan asos mavjud.
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))Qayerda r (\displaystyle r)- kvadratik shaklning darajasi. Shunday qilib, murakkab holatda (haqiqiy holatdan farqli o'laroq) kvadratik shakl bitta o'zgarmas - darajaga ega va barcha degenerativ bo'lmagan shakllar bir xil kanonik shaklga ega (kvadratlar yig'indisi).
Kvadrat shakllarning inertsiya qonuni. Kvadrat shaklning darajasi nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soniga teng ekanligini yuqorida aytib o'tgan edik. Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soni degenerativ bo'lmagan transformatsiyani tanlashga bog'liq emas, uning yordamida shakl kanonik shaklga tushiriladi. Aslida, shaklni kanonik shaklga qisqartirishning har qanday usuli bilan ijobiy va salbiy kanonik koeffitsientlar soni o'zgarmaydi. Bu xossa kvadratik shakllarning inersiya qonuni deyiladi.
Bazadagi shakl matritsa bilan aniqlansin:
, (4.20)
bazisdagi vektorning koordinatalari qayerda e. Faraz qilaylik, bu shakl degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasi yordamida kanonik shaklga keltiriladi.
va nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar bo'lib, bu koeffitsientlarning birinchisi ijobiy va quyidagi koeffitsientlar manfiy bo'lishi uchun raqamlangan:
, , …, , , …, .
Quyidagi degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasini ko'rib chiqing:
Ushbu transformatsiya natijasida shakl shaklni oladi
kvadratik shaklning normal shakli deyiladi.
4.5 teorema (kvadrat shakllarning inertsiya qonuni). Kvadrat shaklning normal ko'rinishidagi ijobiy (salbiy) koeffitsientli hadlar soni shaklni ushbu shaklga qisqartirish usuliga bog'liq emas.
Natija. Ikki kvadratik shakl ekvivalent hisoblanadi, agar shakllarning darajalari teng bo'lsa va musbat va manfiy inertsiya ko'rsatkichlari mos keladi.
Kvadrat shakllarning tasnifi. Ushbu bo'limda kvadratik shaklning inertsiya ko'rsatkichi, musbat va manfiy inersiya ko'rsatkichlari tushunchalaridan foydalanib, kvadratik shakl yuqorida sanab o'tilgan turlarning u yoki bu turiga (musbat aniq, salbiy aniq, almashinadigan va kvazi-belgili aniq). Bunday holda, biz kvadrat shaklning inertsiya indeksini ushbu shaklning nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soni (ya'ni uning darajasi), musbat inersiya indeksini musbat kanonik koeffitsientlar soni, manfiy inersiya indeksini manfiy ko'rsatkichlar deb ataymiz. kanonik koeffitsientlar. Ko'rinib turibdiki, musbat va manfiy inersiya ko'rsatkichlarining yig'indisi inertsiya indeksiga teng. Manfiy va musbat inersiya ko'rsatkichlari munosabat bilan bog'lanadi va juft yoki deyiladi imzo kvadratik shakl.
Demak, kvadratik shaklning inersiya indeksi, musbat va manfiy inersiya ko‘rsatkichlari mos ravishda , va () ga teng bo‘lsin. Oldingi paragrafda har qanday kanonik asosda ushbu shaklni quyidagi oddiy shaklga qisqartirish mumkinligi isbotlangan:
bazisdagi vektorning koordinatalari qayerda.
6-misol Kvadrat shaklning normal shakli va imzosini toping
Bu shaklning kanonik shakli: . Keling, , , ni qo'yaylik. Keyin. Bu kvadrat shaklning normal shakli. Ijobiy inersiya indeksi: , manfiy inersiya indeksi. Demak, kvadrat shaklning imzosi .
4.6 teorema (kvadrat shakl belgisi uchun zarur va etarli shart) n-o‘lchovli chiziqli L fazoda berilgan kvadratik shakl belgi-aniq bo‘lishi uchun yo musbat inersiya ko‘rsatkichi yoki manfiy inersiya ko‘rsatkichi L fazoning o‘lchamiga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. , bo‘lsa, shakl musbat aniqlovchi, agar , u holda shakl salbiy aniqlangan bo‘ladi.
Izoh. Ko'rsatilgan mezon yordamida kvadrat shaklning aniq belgisi masalasiga oydinlik kiritish uchun biz ushbu shaklni uning kanonik shakliga keltirishimiz kerak.
Teorema 4.7 (kvadrat shakl belgilarini almashtirish uchun zarur va etarli shart) Kvadrat shakl almashinib turishi uchun bu shaklning musbat va manfiy inersiya ko‘rsatkichlari noldan farq qilishi zarur va yetarlidir.
Teorema 4.8 (kvadrat shaklning kvazibelgi aniqligi uchun zarur va etarli shart) Shakl kvazibelli aniq bo'lishi uchun quyidagi munosabatlar mavjud bo'lishi zarur va etarli: yo , , yoki , .
Kvadrat shaklning aniq belgisi uchun Silvestr mezoni. Bazisdagi shakl matritsa bilan aniqlansin: va , , …, burchak (asosiy) minorlari va matritsaning determinanti bo'lsin. Quyidagi bayonot haqiqatdir:
4.9 teorema (Silvester mezoni) Kvadrat shakl musbat aniqlovchi bo‘lishi uchun , , …, tengsizliklari zarur va yetarli.
Kvadrat shakl manfiy aniq bo'lishi uchun burchak minorlarining belgilari almashinib turishi zarur va yetarli, va.
Xulosa 1 Kvadrat shakl manfiy aniq bo‘lishi uchun barcha juft tartibli burchak minorlari musbat va toq tartibli burchak minorlari manfiy bo‘lishi yoki aks holda , , ..., , tengsizliklari qanoatlantirilishi zarur va yetarlidir. .
Xulosa 2 Kvadrat shakl manfiy bo'lmasligi uchun uning matritsasining barcha asosiy (nafaqat burchakli) minorlari manfiy bo'lmasligi zarur va etarli.
Xulosa 3 Kvadrat shakl nomusbat bo‘lishi uchun juft tartibli barcha yetakchi kichiklar manfiy bo‘lmasligi va toq tartibli barcha yetakchi kichiklar nomusbat bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Xulosa 4 Kvadrat shakl noaniq (almashinuvchi) bo‘lishi uchun uning matritsasida turli belgilardagi toq tartibli manfiy bosh minor va toq tartibli ikkita yetakchi minor bo‘lishi zarur va yetarlidir.
7-misol Belgining aniqligi uchun kvadrat shakllarni o'rganing:
1) Kvadrat shakldagi matritsa uchun barcha burchak minorlarini toping
Bu holda, yana, faqat burchakli voyaga etmaganlarning qiymatlari bilan javob berish mumkin emas. Keling, barcha katta yoshdagi bolalarni topaylik. Birinchi tartib burchak bo'lmagan asosiy kichiklar 2 va 4. Ikkinchi tartib burchak bo'lmagan asosiy kichiklar , . Hatto tartibning salbiy etakchi kichikligi mavjud. Shuning uchun kvadratik shakl noaniqdir.
Kvadrat shaklning normal ko'rinishi.
Lagranj teoremasiga ko'ra, har qanday kvadrat shaklni kanonik shaklga keltirish mumkin. Ya'ni, diagonallashtiruvchi (kanonik) asos mavjud bo'lib, unda bu kvadrat shaklning matritsasi diagonal shaklga ega.
Qayerda. Keyin bu asosda kvadrat shakl shaklga ega
Nolga teng bo'lmagan elementlar orasida ijobiy va salbiy elementlar bo'lsin va. Agar kerak bo'lsa, bazis vektorlarining raqamlanishini o'zgartirish orqali siz har doim kvadrat shakldagi diagonal matritsada birinchi elementlar ijobiy, qolganlari manfiy bo'lishini ta'minlashingiz mumkin (agar , matritsaning oxirgi elementlari nolga teng bo'lsa). Natijada (10.17) kvadrat shaklni quyidagi shaklda yozish mumkin
Tizimga muvofiq o'zgaruvchilarni o'zgaruvchilar bilan almashtirish natijasida:
kvadratik shakl (6.18) diagonal shaklni oladi, bunda o'zgaruvchilar kvadratlarining koeffitsientlari bitta, minus bir yoki nolga teng:
bu erda kvadrat shakldagi (10.19) matritsa diagonal shaklga ega
Ta'rif 10.9. Yozish (10.19) chaqiriladi normal ko'rinish kvadratik shakl va kvadratik shakl (10.20) matritsaga ega bo'lgan diagonallashtiruvchi asos deyiladi. normallashtiruvchi asos.
Shunday qilib, kvadrat shaklning normal ko'rinishida (10.19) matritsaning diagonal elementlari (10.20) birlik, minus bir yoki nol bo'lishi mumkin va ular shunday joylashtirilganki, avval birlar, keyin minuslar, so'ngra nollar ( nolga aylantirish holatlari ko'rsatilgan qiymatlar bundan mustasno emas, , ).
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlangan.
10.3 teorema. Har qanday kvadratik shaklni diagonal matritsa (10.20) bilan normal shaklga (10.19) keltirish mumkin.
Inersiya qonuni kvadrat shakl
Kvadrat shakl turli usullar bilan kanonik shaklga keltirilishi mumkin (Lagranj usuli, ortogonal o'zgartirish usuli yoki Yakobi usuli). Biroq, ma'lum kvadrat shakl uchun kanonik shakllarning xilma-xilligiga qaramay, uning koeffitsientlarining barcha bu kanonik shakllarda o'zgarmagan xususiyatlari mavjud. Biz deb atalmish haqida gapiramiz sonli invariantlar kvadratik shakl. Kvadrat shaklning son invariantlaridan biri kvadratik shaklning darajasidir.
10.4 teorema ( kvadratik shaklning daraja o'zgarmasligi bo'yicha ) Kvadrat shaklning darajasi degenerativ bo'lmagan chiziqli o'zgarishlarda o'zgarmaydi va uning har qanday kanonik shakllarida nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar soniga teng. Boshqacha qilib aytganda, kvadrat shaklning darajasi kvadrat shakl matritsasining nolga teng bo'lmagan xos qiymatlari soniga teng (ularning ko'pligini hisobga olgan holda).
Ta'rif 10.10. Kvadrat shaklning darajasi deyiladi inertsiya indeksi. Kvadrat shaklning normal ko'rinishidagi (3) musbat va manfiy sonlarning soni () deyiladi. ijobiy Va salbiy indekslar mos ravishda kvadrat shakldagi inertsiya. Bunday holda, ro'yxat chaqiriladi imzo kvadratik shakl.
Ijobiy va manfiy inersiya indekslari kvadrat shaklning son invariantlaridir. Teorema chaqirdi inersiya qonuni.
10.5 teorema ( inersiya qonuni ) .Kvadrat shaklning kanonik shakli (10.17) yagona aniqlangan, ya'ni imzo diagonallashtiruvchi asosni tanlashga bog'liq emas (kvadrat shaklni kanonik shaklga qisqartirish usuliga bog'liq emas).
□ Teorema bayoni shuni anglatadiki, agar bir xil kvadratik shakl ikkita yagona bo'lmagan chiziqli o'zgarishlardan foydalangan holda
turli kanonik shakllarga qisqartirilgan ():
u holda u majburiydir, ya'ni ijobiy koeffitsientlar soni ijobiy koeffitsientlar soniga to'g'ri keladi.
Bayonotdan farqli o'laroq, deylik. Transformatsiyalar (10.21) degenerativ bo'lmaganligi sababli, biz ulardan kanonik o'zgaruvchilarni ifodalaymiz:
Shunday vektor topilsinki, mos vektorlar ko'rinishga ega bo'lsin
Buning uchun matritsalarni quyidagi blok shakllarida taqdim etamiz:
bu yerda denotatsiyalar -matritsa, -matritsa, -matritsa, -matritsa.
Matritsalarni blokli tasvirlash natijasida va birinchi tenglamalarni (10.22) va oxirgi tenglamalarni (10.23) olib, chiziqli algebraik tenglamalarning bir hil tizimini tuzamiz:
Olingan tizim tenglamalar va noma'lumlarni o'z ichiga oladi (vektor komponenti ). dan beri, demak, bu sistemada tenglamalar soni noma'lumlar sonidan kam bo'lib, uning cheksiz ko'p yechimlari mavjud bo'lib, ular orasida nolga teng bo'lmagan yechim aniqlanishi mumkin.
Olingan vektorda shakl qiymatlari turli xil belgilarga ega:
bu mumkin emas. Bu noto'g'ri bo'lgan taxmin, ya'ni, degan ma'noni anglatadi.
Bundan kelib chiqadiki, imzo diagonallashtiruvchi asosni tanlashga bog'liq emas. ■
Inersiya qonunining tasviri sifatida uchta o'zgaruvchining kvadratik shakli quyidagicha ekanligini ko'rsatish mumkin:
mos keladigan matritsalar bilan ikkita yagona bo'lmagan chiziqli transformatsiyalar
(birinchi matritsa Lagranj usuliga, ikkinchisi - ortogonal o'zgartirish usuliga to'g'ri keladi) mos ravishda ikki xil kanonik shaklga qisqartiriladi.
Bundan tashqari, ikkala kanonik shakl ham bir xil imzoga ega
6. Aniq va almashinadigan kvadrat shakllar
Kvadrat shakllar ular qabul qilgan qiymatlar to'plamiga qarab turlarga bo'linadi.
Ta'rif 10.11. Kvadrat shakl deyiladi:
ijobiy aniqlik
salbiy ta'riflangan, agar nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uchun: ;
nomusbat aniq (salbiy yarim aniq), agar nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uchun: ;
manfiy bo'lmagan aniq (musbat yarim aniq), agar nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uchun: ;
o'zgaruvchan belgi, nolga teng bo'lmagan vektorlar bo'lsa, :.
Ta'rif 10.12. Ijobiy (salbiy) aniq kvadratik shakllar deyiladi belgida aniq. Ijobiy bo'lmagan (salbiy bo'lmagan) aniq kvadratik shakllar deyiladi doimiy belgi.
Kvadrat shaklning turini kanonik (yoki normal) shaklga qisqartirish orqali osongina aniqlash mumkin. Quyidagi ikkita teorema to'g'ri.
10.6 teorema. Kvadrat shakl kanonik shaklga keltirilsin va imzo ( , ) bo'lsin. Keyin:
Bu ijobiy aniqlik ;
Bu salbiy ta'riflangan ;
Bu ijobiy bo'lmagan aniq ;
Bu manfiy bo'lmagan aniq ;
Bu o'zgaruvchan belgi.). Keyin: hamma uchun inkor bo'lmagan aniqlovchi ;
Bu o'zgaruvchan belgi xos qiymatlar orasida ham ijobiy, ham salbiy mavjud.
Individual onlayn darslar: So‘rovingizni hozir yuboring: [elektron pochta himoyalangan]Matematika (USE, OGE), ingliz tili (og'zaki, grammatika, TOEFL)
Muammoni hal qilish: matematika, IT, iqtisodiyot, psixologiya bo'yicha Kvadrat shakllarning inertsiya qonuni
Bodrenko.com saytida portativ Windows ilovalari
§ 4. Kvadrat shakllarning inertsiya qonuni. Kvadrat shakllarning tasnifi
1. Kvadrat shakllarning inertsiya qonuni. Biz allaqachon ta'kidlagan edik (oldingi bandning 1-bandining 2-izohiga qarang) kvadrat shaklning darajasi nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soniga teng. Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soni degenerativ bo'lmagan transformatsiyani tanlashga bog'liq emas, uning yordamida A (x, x) shakli kanonik shaklga tushiriladi. Aslida, A (x, x) shaklini kanonik shaklga qisqartirishning har qanday usuli bilan ijobiy va salbiy kanonik koeffitsientlar soni o'zgarmaydi. Bu xossa kvadratik shakllarning inersiya qonuni deyiladi.
Inersiya qonunining asoslanishiga o‘tishdan oldin ba’zi mulohazalarni bildiramiz.
e = (e 1, e 2,..., e n) asosdagi A(x, x) ko‘rinish A(e) = (a ij) matritsa bilan aniqlansin:
Bu erda p 1, p 2, ..., p n - e bazisdagi x vektorning koordinatalari, degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasi yordamida bu shakl kanonik ko'rinishga keltiriladi deb faraz qilaylik.
va l 1 , l 2 ,..., l k- nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar, bu koeffitsientlarning birinchi q si ijobiy, quyidagi koeffitsientlar esa manfiy bo'lishi uchun raqamlangan:
l 1 > 0, l 2 > 0, ..., l q> 0, l q+1< 0, ..., λ k <0.
Quyidagi degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasini ko'rib chiqing m i (bu transformatsiyaning determinanti nolga teng emasligini ko'rish oson):
Bu o'zgartirish natijasida A(x, x) ko'rinishga ega bo'ladi
kvadratik shaklning normal shakli deyiladi.
Shunday qilib, e = (e 1, e 2,..., e n) asosidagi x vektorining p 1, p 2, ..., p n koordinatalarining ba’zi degenerativ bo‘lmagan transformatsiyasidan foydalanish.
(bu transformatsiya (7.30) formulalar bo'yicha p dan m ga va m dan ē ga o'zgarishlarning ko'paytmasidir) kvadrat shaklni normal ko'rinishga keltirish mumkin (7.31).
Keling, quyidagi bayonotni isbotlaylik.
7.5 teorema (kvadrat shakllarning inersiya qonuni). Kvadrat shaklning normal ko'rinishidagi ijobiy (salbiy) koeffitsientli hadlar soni shaklni ushbu shaklga qisqartirish usuliga bog'liq emas.
Isbot. A(x, x) shakli degeneratsiyalanmagan koordinata transformatsiyasi (7.32) yordamida normal ko'rinishga (7.31) keltirilsin va boshqa degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasi yordamida normal shaklga keltirilsin.
Shubhasiz, teoremani isbotlash uchun p = q tengligini tekshirish kifoya.
p > q bo'lsin. Bunda nolga teng bo'lmagan x vektor mavjudligiga ishonch hosil qilaylikki, A(x, x) ko'rinishda (7.31) va (7.33) koordinatalar ē 1 ko'rinishga ega bo'lgan asoslarga nisbatan, ē 2, ..., ē q va z r+1 , ..., z n bu vektor nolga teng:
ē 1 = 0, ē 2 = 0, ..., ē q = 0, z r+1 = 0, ..., z n = 0 (7.34)
Koordinatalar ē bo'lgani uchun i p 1, ..., p n koordinatalarini va z koordinatalarini degeneratsiz o‘zgartirish (7.32) yo‘li bilan olinadi. i- bir xil p 1, ..., p n koordinatalarining o'xshash degenerativ bo'lmagan transformatsiyasidan foydalangan holda, u holda (7.34) munosabatlarni p 1, ..., p n koordinatalari uchun chiziqli bir hil tenglamalar tizimi sifatida ko'rib chiqish mumkin. kerakli vektor x asosda e = ( e 1, e 2,..., e n) (masalan, kengaytirilgan shaklda ē 1 = 0 munosabati (7.32) ga ko'ra, a 11 ko'rinishiga ega. p 1 + a 12 p 2 + a 1 n p n= 0) - p > q bo'lgani uchun bir jinsli tenglamalar soni (7.34) n dan kichik va shuning uchun (7.34) sistemaning p 1, ..., p n koordinatalariga nisbatan nolga teng bo'lmagan yechimga ega. kerakli vektor x. Binobarin, agar p > q bo'lsa, u holda (7.34) munosabatlar qanoatlanadigan nolga teng bo'lmagan x vektor mavjud.
Ushbu x vektor uchun A(x, x) ko'rinishning qiymatini hisoblaymiz. (7.31) va (7.33) munosabatlariga murojaat qilib, biz olamiz
Oxirgi tenglik faqat ē holatida bo'lishi mumkin q+1 = ... = ē k = 0 va z 1 = z 2 = ... = z r = 0.
Shunday qilib, qaysidir asosda barcha koordinatalar z 1, z 2, ..., z n nolga teng bo'lmagan vektor x nolga teng (oxirgi tenglik va munosabatlarga qarang (7.34)), ya'ni. vektor x nolga teng. Shuning uchun p > q faraz ziddiyatga olib keladi. Shunga o'xshash sabablarga ko'ra, taxmin p< q.
Shunday qilib, p = q. Teorema isbotlangan.
2. Kvadrat shakllarning tasnifi. Ushbu bobning 2-bandining 1-bandida (2-ta'rifga qarang) musbat aniq, inkor aniq, o'zgaruvchan va kvazibelli aniq kvadrat shakllar tushunchalari kiritilgan.
Ushbu bo'limda kvadrat shaklning inertsiya ko'rsatkichi, musbat va manfiy inersiya ko'rsatkichlari tushunchalaridan foydalanib, kvadratik shakl yuqorida sanab o'tilgan turlarning u yoki bu turiga tegishli ekanligini qanday aniqlash mumkinligini ko'rsatamiz. Bunday holda, kvadrat shaklning inertsiya indeksi bu shaklning nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlari soni (ya'ni uning darajasi), ijobiy inertsiya indeksi ijobiy kanonik koeffitsientlar soni, manfiy inertsiya indeksi salbiy kanonik koeffitsientlar soni bo'ladi. koeffitsientlar. Ko'rinib turibdiki, musbat va manfiy inersiya ko'rsatkichlarining yig'indisi inertsiya indeksiga teng.
Demak, A(x, x) kvadrat shakldagi inertsiya indeksi, musbat va manfiy inersiya ko'rsatkichlari mos ravishda k, p va q ga teng bo'lsin (k = p + q), oldingi bandda har qandayida isbotlangan kanonik asos f = (f 1 , f 2 , ..., f n) bu shaklni quyidagi oddiy shaklga keltirish mumkin:
Bu yerda ē 1, ē 2, ..., ē n f bazisdagi x vektorining koordinatalari.
1°. Kvadrat shakl belgisining zaruriy va yetarli sharti. Quyidagi bayonot haqiqatdir.
L n o‘lchovli chiziqli fazoda aniqlangan kvadratik shakl A(x, x) aniq belgiga ega bo‘lishi uchun yo musbat inersiya ko‘rsatkichi p yoki manfiy inersiya ko‘rsatkichi q bo‘lishi zarur va yetarlidir. L fazoning n o‘lchamiga teng.
Bundan tashqari, agar p = n bo'lsa, u holda shakl musbat aniqlangan, lekin q = n bo'lsa, u holda shakl salbiy aniqlangan bo'ladi.
Isbot. Ijobiy aniq shakl va inkor aniq shakl holatlari bir xilda ko'rib chiqilganligi sababli, ijobiy aniq shakllar uchun gapni isbotlashni amalga oshiramiz.
1) zarurat. A(x, x) ko'rinish musbat aniqlangan bo'lsin. Keyin (7.35) ifoda shaklni oladi
A(x,x) = ē 1 2 + ē 2 2 + ... + ē p 2.
Agar bir vaqtning o'zida p< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
ē 1 = 0, ē 2 = 0, ..., ē r = 0, ē r+1 ≠ 0, ..., ē n ≠ 0
A(x, x) shakli yo'qoladi va bu ijobiy aniq kvadrat shaklning ta'rifiga zid keladi. Shuning uchun, p = n.
2) yetarlilik. p = n bo'lsin. U holda (7.35) munosabat A(x,x) = ē 1 2 + ē 2 2 + ... + ē r 2 ko'rinishga ega bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, A(x, x) ≥ 0, agar A = 0 bo'lsa, ē 1 = ē 2 = ... = ē bo'ladi. n= 0, ya'ni x vektor nolga teng. Demak, A(x, x) musbat aniq shakldir.
Izoh. Ko'rsatilgan mezon yordamida kvadrat shaklning aniq belgisi masalasiga oydinlik kiritish uchun biz ushbu shaklni uning kanonik shakliga keltirishimiz kerak.
Keyingi bobda Silvestrning kvadratik shaklning aniq belgisi mezonini isbotlaymiz, uning yordamida kanonik shaklga keltirmasdan istalgan asosda berilgan shaklning aniq belgisi haqidagi savolga oydinlik kiritishimiz mumkin.
2°. Kvadrat shakl belgilarining almashinishining zaruriy va yetarli sharti. Keling, quyidagi bayonotni isbotlaylik.
Kvadrat shakl almashinib turishi uchun bu shaklning musbat va manfiy inersiya ko‘rsatkichlari noldan farq qilishi zarur va yetarlidir.
Isbot. 1) zarurat. Muqobil shakl ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarni qabul qilganligi sababli, uning G.35) normal shakldagi ifodasi ham ijobiy, ham salbiy atamalarni o'z ichiga olishi kerak (aks holda bu shakl salbiy yoki ijobiy bo'lmagan qiymatlarni oladi). Shunday qilib, ijobiy va salbiy inertsiya indekslari nolga teng emas.
2) yetarlilik. r ≠ 0 va q ≠ 0 bo‘lsin. Keyin koordinatalari ē 1 ≠ 0, ..., ē r ≠ 0 bo‘lgan x 1 vektori uchun, ē r+1 = 0, ..., ē n = 0 bizda A(x 1 x 1) > 0 va koordinatalari ē 1 = 0, ..., ē r = 0 bo'lgan x 2 vektor uchun, ē r+1 ≠ 0, ..., ē n ≠ 0 bizda A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Kvadrat shaklning kvazibelli aniqligi uchun zarur va yetarli shart. Quyidagi bayonot haqiqatdir.
A(x, x) shakli kvazibelli aniq boʻlishi uchun quyidagi munosabatlarning amal qilishi zarur va yetarli: yoki p.< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Isbot. Biz ijobiy kvazibelgi aniq shakl holatini ko'rib chiqamiz. Salbiy kvazibelli aniq shakl holatiga ham xuddi shunday munosabatda bo‘ladi.
1) zarurat. A(x, x) ko'rinish musbat kvazibelli aniq bo'lsin. Keyin, aniq, q = 0 va p< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) yetarlilik. Agar p< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, ē r+1 ≠ 0, ..., ē n ≠ 0 bizda A (x, x) = 0, ya'ni. A(x, x) musbat kvazibelli aniq shakldir.
3. Kvadrat shakl belgisi uchun Silvestr mezoni (Jeyms Jozef Silvestr (1814-1897) - ingliz matematigi). e = (e 1, e 2,..., e n) asosdagi A(x, x) ko‘rinish A(e) = (a ij) matritsa bilan aniqlansin:
qo'yib yubor D 1 = a 11, 
- burchak minorlari va matritsa determinanti (a ij). Quyidagi bayonot haqiqatdir.
7.6 teorema (Silvestr mezoni). A(x, x) kvadrat shakli musbat aniq bo‘lishi uchun D 1 > 0, D 2 > 0, ..., D n > 0 tengsizliklar bajarilishi zarur va yetarli.
Kvadrat shakl manfiy aniq bo'lishi uchun burchak minorlarining belgilarining D 1 bilan almashinishi zarur va yetarlidir.< 0.
Isbot. 1) zarurat. Avval A(x, x) kvadrat shaklining belgi-aniq bo‘lishi shartidan D kelib chiqishini isbotlaylik. i ≠ 0, i = 1, 2,..., n.
Faraz D ekanligiga ishonch hosil qilaylik k= 0 ziddiyatga olib keladi - bu taxmin ostida nolga teng bo'lmagan x vektor mavjud bo'lib, u uchun A(x, x) = 0, bu shaklning aniq belgisiga zid keladi.
Shunday qilib, D k= 0. Quyidagi kvadrat bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:
dan beri D k bu tizimning determinanti va D k= 0, u holda tizim nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'ladi p 1, p 2, ..., p k (hamma i 0 ga teng emas). (7.36) tenglamalarning birinchisini p 1 ga, ikkinchisini p 2, ... ga, oxirgisini p k ga ko'paytiramiz va hosil bo'lgan munosabatlarni qo'shamiz. Natijada biz tenglikka erishamiz 
, uning chap tomoni koordinatalari (p 1, p 2, ..., p k, 0, ..., 0) bo‘lgan nolga teng bo‘lmagan x vektor uchun A(x, x) kvadrat shaklining qiymatini ifodalaydi. . Bu qiymat nolga teng, bu shaklning aniq belgisiga zid keladi.
Shunday qilib, biz aminmizki D i≠ 0, i = 1, 2,..., n. Shuning uchun biz A(x, x) shaklini kvadratlar yig'indisiga kamaytirishning Yakobi usulini qo'llashimiz mumkin (7.4-teoremaga qarang) va kanonik koeffitsientlar uchun (7.27) formulalardan foydalanishimiz mumkin l i. Agar A(x, x) musbat aniq shakl bo'lsa, u holda barcha kanonik koeffitsientlar ijobiydir. Ammo keyin (7.27) munosabatlardan D 1 > 0, D 2 > 0, ..., D n > 0 ekanligi kelib chiqadi. Agar A(x, x) manfiy aniq shakl bo’lsa, barcha kanonik koeffitsientlar manfiy bo’ladi. Ammo keyin (7.27) formulalardan kelib chiqadiki, burchakli kichiklarning belgilari almashinadi va D 1< 0.
2) yetarlilik. Burchakli kichiklarga qo'yilgan shartlar D qanoatlansin i teoremani shakllantirishda. dan beri D i≠ 0, i = 1, 2,..., n boʻlsa, A shaklini Yakobi usulida kvadratlar yigʻindisiga keltirish mumkin (7.4-teoremaga qarang), kanonik koeffitsientlar esa l. i(7.27) formulalar yordamida topish mumkin. Agar D 1 > 0, D 2 > 0, ..., D n > 0 bo‘lsa, (7.27) munosabatlardan hamma l i> 0, ya'ni A(x, x) ko'rinishi musbat aniqlangan. Agar D belgilari bo'lsa i muqobil va D 1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
