Сентябрь оказался успешным месяцем для всех классов активов. По оценкам "Денег", почти все инвестиции обеспечили положительный результат. При этом самый высокий доход принесли вложения в золото, которые выиграли не только от роста стоимости драгоценного металла, но и от ослабления рубля. Высокую прибыль принесли инвесторам основные категории ПИФов, депозиты, а также большая часть российских акций. Убыточными стали популярные в последние годы фонды облигаций, а также акции Сбербанка, которые сильнее всего могут пострадать в случае ужесточения санкций США.
Виталий Капитонов
Спустя пять месяцев самой доходной инвестицией за месяц стало золото. По оценке "Денег", вложив 15 августа в драгоценный металл 100 тыс. руб., инвестор мог получить через месяц почти 5 тыс. руб. дохода. Это второй по величине месячный результат в этом году. Больше инвестор мог заработать в апреле — 9,3 тыс. руб.
Высокая доходность вложений в благородный металл лишь отчасти связана с ростом его цены. C середины августа стоимость золота выросла на 2,4%, до $1205 за тройскую унцию. Это стало отражением инфляционных ожиданий в США. По данным Министерства торговли США, инфляция в стране замедлилась с 2,9% в июле до 2,7% в августе, но остается выше целей ФРС. Таким образом, инфляция продолжает расти, что позволит ФРС повышать ставку без резких изменений. Поддержку драгоценному металлу оказали новости о том, что власти США и Канады продолжают предпринимать попытки найти компромисс по новому соглашению НАФТА. "Эти новости снижают обеспокоенность относительно торговых отношений, которая оказывала давление на рынок золота и поддерживала доллар",— отмечает стратег по операциям на товарно-сырьевых рынках Sberbank Investment Research Михаил Шейбе. Эффект растущих цен на золото был усилен ростом курса доллара в России (+2,5%). В результате рублевые инвестиции в драгоценный металл принесли значительный доход.
Впрочем, к дальнейшим инвестициям в золото стоит относиться с осторожностью, считают участники рынка. Ключевым риском для инвестиций в благородный металл остается эскалация торгового противостояния между США и Китаем. "Фактор политического давления исключен, а это значит, что появление новых барьеров — дело практически решенное. Такое развитие событий негативно для золота, поскольку возрастет спрос на доллар как на защитный актив",— считает Михаил Шейбе.
Какой доход принесли вложения в золото (%)
Источники: Bloomberg, Reuters, Сбербанк.
В числе наиболее доходных финансовых продуктов остаются паевые инвестиционные фонды, а отдельные продукты управляющих компаний смогли обеспечить маржу, превышающую показатель золота. В октябре самыми успешными оказались вложения в отраслевые фонды акций, ориентированные на металлургические, телекоммуникационные и нефтегазовые компании. По оценке "Денег", основанной на данных Investfunds, по итогам месяца вложения в такие фонды принесли бы частным инвесторам от 2,2 тыс. руб., до 5,2 тыс. руб.
Высокий заработок обеспечили и другие категории фондов: индексные фонды, смешанных инвестиций, еврооблигаций. Фонды этих категорий смогли бы принести своим инвесторам от 200 руб. до 4 тыс. руб. на 100 тыс. вложений.
Негативный результат принесли полюбившиеся частным инвесторам облигационные фонды. Фонды данной категории относятся к числу консервативных, поэтому потери частных инвесторов были символическими — до 1 тыс. руб. В таких условиях инвесторы начали фиксировать прибыль в облигационных фондах. По данным Investfunds, в августе розничные инвесторы вывели из облигационных фондов 4 млрд руб. Быстрее они забирали из фондов данной категории в декабре 2014 года. Тогда на фоне девальвации курса рубля и стремительного роста ставок на внутреннем рынке инвесторы вывели из фондов более 4,5 млрд руб.
Высвобожденную ликвидность инвесторы отчасти направляют на покупку более рискованных фондов акций. Объем вложенных средств в фонды данной категории в августе превысил 3,5 млрд руб., что на 500 млн руб. больше объема привлечений в июле. Спрос на рисковые стратегии растет уже шестой месяц подряд, а объем вложений занимает все большую долю в общем притоке в розничные фонды. Наибольшим спросом у инвесторов пользуются фонды телекоммуникаций и нефтегаза.
Какой доход принесли вложения в паевые фонды (%)
|
Источники: Национальная лига управляющих, Investfunds.
Августовские аутсайдеры — акции — поднялись на третье место с четвертого рейтинга "Денег". За минувший месяц инвестиции в индекс ММВБ принесли бы розничным инвесторам 3,4 тыс. руб. При этом начало рассмотренного периода не предвещало столь высокого результата. В период с 15 по 18 августа индекс ММВБ снизился на 1,2%. Однако ситуация улучшилась после 24 августа. За три недели индекс подскочил почти на 5% и поднялся до уровня 2374 пункта. Это всего на 2 пункта ниже исторического максимума, установленного в марте.
Впрочем, в сентябре многие фондовые индексы развивающихся и развитых стран продемонстрировали положительную динамику. По оценкам Bloomberg, российские индексы выросли в долларовом выражении всего на 4,4%. Сильнее рост продемонстрировали только турецкие индексы, поднявшиеся на 5,9-6,3%. Среди индикаторов развитых стран лидером стал итальянский FTSE MIB, прибавивший за месяц 3,4%.
Сильнее всего подросли акции АЛРОСА, "Газпрома", ГМК "Норильский никель" и "Магнита": на этих бумагах инвестор мог заработать 4,2-8,3 тыс. руб. на каждую сотню тысяч инвестиций. По словам ведущего аналитика ИК "Олма" Антона Старцева, интерес инвесторов к бумагам АЛРОСА поддержало высказывание министра финансов Антона Силуанова о том, что компания может направить 75% чистой прибыли на выплату дивидендов.
Исключением из общей картины стали акции "РусГидро", "Ростелекома", "Аэрофлота", инвестиции в которые принесли бы убыток в размере от 200 руб. до 1,4 тыс. руб. Максимальные потери оказались бы у инвесторов, вложивших деньги в ценные бумаги Сбербанка,— 2,1 тыс. руб. Его акции остаются под давлением комментариев чиновников Госдепартамента США, которые не исключают возможности санкций в отношении банка в ноябре. Такие перспективы пугают международных инвесторов и вынуждают их выходить не только из ОФЗ, но и из бумаг банка.
После обвала в августе и сентябре акции Сбербанка стали привлекательными для инвестирования, считают аналитики. "Отскок в бумагах крупнейшего российского банка очень вероятен, и риски их покупок вполне оправданны. Среднесрочным инвесторам пока следует ориентироваться на фиксацию прибыли в районе 180 руб. за акцию",— считает аналитик "АЛОР Брокер" Алексей Антонов.
Какой доход принесли вложения в акции (%)
|
Над полем K {\displaystyle K} и e 1 , e 2 , … , e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}} - базис в L {\displaystyle L} .
- Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
- Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения .
Канонический вид
Вещественный случай
В случае, когда K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)}где
r
{\displaystyle r}
- ранг квадратичной формы. В случае невырожденной квадратичной формы
p
+
q
=
n
{\displaystyle p+q=n}
, а в случае вырожденной -
p
+
q
<
n
{\displaystyle p+q
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.
Число q {\displaystyle q} (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число p − q {\displaystyle p-q} (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару (p , q) {\displaystyle (p,q)} . Числа p , q , p − q {\displaystyle p,q,p-q} являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра ).
Комплексный случай
В случае, когда K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)}где r {\displaystyle r} - ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант - ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).
Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали выше, что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.
Пусть форма в базисе определяется матрицей :
, (4.20)
где – координаты вектора в базисе е . Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду
причем – отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты – отрицательные:
, , …, , , …, .
Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат :
В результате этого преобразования форма примет вид
называемый нормальным видом квадратичной формы.
Теорема 4.5 (закон инерции квадратичных форм) . Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Следствие. Две квадратичные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда ранги форм равны, положительные и отрицательные индексы инерции совпадают.
Классификация квадратичных форм. В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов (положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной). При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т.е. ее ранг), положительным индексом инерции – число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции – число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции. Отрицательный и положительный индексы инерции связаны соотношением , а пара или называется сигнатурой квадратичной формы.
Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы соответственно равны , и (). В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:
где – координаты вектора в базисе .
Пример 6 Найти нормальный вид и сигнатуру квадратичной формы
Канонический вид этой формы имеет вид: . Положим , , . Тогда . Это нормальный вид квадратичной формы. Положительный индекс инерции: , отрицательный индекс инерции . Следовательно, сигнатура квадратичной формы .
Теорема 4.6 (необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы) Для того чтобы квадратичная форма , заданная в n-мерном линейном пространстве L, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции , либо отрицательный индекс инерции был равен размерности пространства L. При этом, если , то форма положительно определенная, если же , то форма отрицательно определенная.
Замечание . Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.
Теорема 4.7 (необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы) Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.
Теорема 4.8 (необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной формы) Для того чтобы форма была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения: либо , , либо , .
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма в базисеопределяется матрицей : и пусть , , …, – угловые (главные) миноры и определитель матрицы . Справедливо следующее утверждение:
Теорема 4.9 (критерий Сильвестра) Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства , , …, .
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем .
Следствие 1 Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры четного порядка были положительны и все угловые миноры нечетного порядка были отрицательны или, иначе, были выполнены неравенства , , …, , .
Следствие 2 Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные (не только угловые) миноры ее матрицы были неотрицательны.
Следствие 3 Для того чтобы квадратичная форма была неположительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны и все главные миноры нечетного порядка были неположительны.
Следствие 4 Для того чтобы квадратичная форма была неопределенной (знакопеременной), необходимо и достаточно, чтобы у ее матрицы существовали отрицательный главный минор четного порядка и два главных минора нечетных порядков разных знаков.
Пример 7 Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность:
1) Для матрицы квадратичной формы найдем все угловые миноры
В этом случае опять только по значениям угловых миноров дать ответ нельзя. Найдем все главные миноры. Не угловые главные миноры первого порядка равны 2 и 4. Не угловые главные миноры второго порядка , . Имеется отрицательный главный минор четного порядка. Поэтому квадратичная форма неопределенная.
Нормальный вид квадратичной формы.
Согласно теореме Лагранжа любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. То есть существует диагонализирующий (канонический) базис, в котором матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид
где . Тогда в этом базисе квадратичная форма имеет вид
Пусть среди ненулевых элементов имеется положительных и отрицательных, причем . Меняя, в случае необходимости нумерацию базисных векторов, можно всегда добиться того, чтобы в диагональной матрице квадратичной формы первые элементов были положительными, остальные – отрицательными (если , то последние элементов в матрице – нули). В результате квадратичную форму (10.17) можно записать в следующем виде
В результате замены переменных на переменные согласно системе:
квадратичная форма (6.18) примет диагональный вид, в которой коэффициенты при квадратах переменных единицы, минус единицы или нули:
где матрица квадратичной формы (10.19) имеет диагональный вид
Определение 10.9. Запись (10.19) называется нормальным видом квадратичной формы, а диагонализирующий базис, в котором квадратичная форма имеет матрицу (10.20), называется нормализирующим базисом .
Таким образом, в нормальном виде (10.19) квадратичной формы диагональными элементами матрицы (10.20) могут быть единицы, минус единицы или нули, причем располагаются они так, что сначала первыми идут единиц, затем минус единиц, потом нулей (не исключаются случаи обращения в нуль указанных значений , , ).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 10.3. Всякая квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (10.19) с диагональной матрицей (10.20).
Закон инерции квадратичной формы
Квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду различными способами (методом Лагранжа, методом ортогональных преобразований или методом Якоби). Но, несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики её коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными. Речь идет о так называемых числовых инвариантах квадратичной формы. Одним из числовым инвариантом квадратичной формы является ранг квадратичной формы.
Теорема 10.4 (об инвариантности ранга квадратичной формы) .Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных преобразованиях и равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных чисел матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).
Определение 10.10. Ранг квадратичной формы называется индексом инерции . Число положительных и число () отрицательных чисел в нормальном виде (3) квадратичной формы называются положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы соответственно. При этом список называется сигнатурой квадратичной формы.
Положительный и отрицательный индексы инерции являются числовыми инвариантами квадратичной формы. Справедлива теорема, называемая законом инерции .
Теорема 10.5 (закон инерции) .Канонический вид (10.17) квадратичной формы определён однозначно, то есть сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса (не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду).
□ Утверждение теоремы означает, что если одна и та же квадратичная форма при помощи двух неособенных линейных преобразований
приведена к различным каноническим видам ():
то обязательно , то есть количество положительных коэффициентов совпадает с количеством положительных коэффициентов .
Вопреки утверждению, предположим, что . Так как преобразования (10.21) невырожденные, то выразим из них канонические переменные :
Найдем вектор такой, чтобы соответствующие векторы , имели вид
Для этого представим матрицы и в следующих блочных видах:
где обозначены -матрица, -матрица, -матрица, -матрица.
В результате блочных представлений матриц и составим однородную систему линейных алгебраических уравнений, взяв из (10.22) первые уравнений, а из (10.23) – последние уравнений:
Полученная система содержит уравнений и неизвестных (компонент вектора ). Так как , то , то есть в этой системе число уравнений меньше числа неизвестных, и она имеет бесконечное количество решений, среди которых можно выделить ненулевое решение .
На полученном векторе значения формы имеют разные знаки:
что невозможно. Значит, предположение о том, что неверно, то есть .
Из того, что следует, что сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса. ■
В качестве иллюстрации закона инерции можно показать, что квадратичная форма от трех переменных:
двумя неособенными линейными преобразованиями , с соответствующими матрицами
(первая матрица соответствует методу Лагранжа, вторая – методу ортогональных преобразований) приводится соответственно к двум различным каноническим формам
При этом обе канонические формы имеют одну и ту же сигнатуру
6. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы
Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.
Определение 10.11. Квадратичная форма называется:
положительно определенной
отрицательно определенной , если для всякого ненулевого вектора : ;
неположительно определенной (отрицательно полуопределенной) , если для всякого ненулевого вектора : ;
неотрицательно определенной (положительно полуопределенной) , если для всякого ненулевого вектора : ;
знакопеременной , если существуют ненулевые векторы , : .
Определение 10.12. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными . Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными .
Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому (или нормальному) виду. Справедливы следующие две теоремы.
Теорема 10.6. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру ( , ). Тогда:
Является положительно определенной ;
Является отрицательно определенной ;
Является неположительно определенной ;
Является неотрицательно определенной ;
Является знакопеременной .). Тогда:неотрицательно определенной при всех ;
Является знакопеременной среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: [email protected]Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Закон инерции квадратичных форм
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
§ 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм
1. Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали (см.
замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу
отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от
нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного
преобразования, с помощью которого форма А(х, х) приводится к каноническому
виду. На самом деле при любом способе приведения формы А(х, х) к каноническому
виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов.
Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.
Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания.
Пусть форма А(х, х) в базисе е = (е 1 , е 2 ,..., е n
)
определяется матрицей А(е) = (а ij
):
где ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n - координаты вектора х в базисе е. Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду
причем λ 1 , λ 2 ,..., λ k - отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые q из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты - отрицательные:
λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q > 0, λ q+1 < 0, ..., λ k <0.
Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат μ i (легко видеть, что определитель этого преобразования отличен от нуля) :
В результате этого преобразования форма А(х, х) примет вид
называемый нормальным видом квадратичной формы.
Итак, с помощью некоторого невырожденного преобразования координат
ξ 1 ,
ξ
2 ,
..., ξ
n вектора х в базисе е = (е 1 ,
е 2 ,..., е n
)
(это преобразование представляет собой произведение
преобразований ξ в μ и μ в η
пo формулам (7.30))
квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.31).
Докажем следующее утверждение.
Теорема 7.5 (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными
(отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит
от способа приведения формы к этому виду.
Доказательство. Пусть форма А(х, х) с помощью невырожденного преобразования
координат (7.32) приведена к нормальному виду (7.31) и с помощью другого
невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду
Очевидно, для доказательства теоремы достаточно убедиться в
справедливости равенства р = q.
Пусть р > q. Убедимся, что в этом случае имеется ненулевой вектор х такой, что
по отношению к базисам, в которых форма А(х, х) имеет вид (7.31) и (7.33),
координаты η 1 ,
η
2 ,
..., η
q и ζ р+1 ,
..., ζ n
этого вектора равны нулю:
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)
Так как координаты η i
получены путем невырожденного преобразования (7.32) координат
ξ 1 ,
..., ξ
n ,
а координаты ζ i
- с помощью аналогичного невырожденного преобразования этих же координат
ξ 1 ,
..., ξ
n ,
то соотношения (7.34) можно рассматривать как систему линейных однородных
уравнений относительно координат ξ 1 ,
...,
ξ
n искомого вектора х в базисе е = (е 1 ,
е 2 ,..., е n
) (например, в
развернутом виде соотношение η
1 = 0
имеет, согласно (7.32), вид а 11 ξ 1 + а 12 ξ 2
+ а 1 n ξ n
= 0)-
Так как р > q, то число однородных уравнений (7.34) меньше n
,
и поэтому система (7.34) имеет ненулевое решение относительно координат
ξ 1 ,
..., ξ
n
искомого вектора х. Следовательно, если р > q, то существует ненулевой вектор х,
для которого выполняются соотношения (7.34).
Подсчитаем значение формы А(х, х) для этого вектора х. Обращаясь к соотношениям
(7.31) и (7.33), получим
Последнее равенство может иметь место лишь в случае
η q+1 = ... = η k =
0
и ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0
.
Таким образом, в некотором базисе все координаты ζ 1 ,
ζ 2 , ..., ζ n
ненулевого
вектора х равны нулю (см. последние равенства и соотношения (7.34)), т.е. вектор
х равен нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. По
аналогичным соображениям ведет к противоречию и предположение р < q.
Итак, р = q. Теорема доказана.
2. Классификация квадратичных форм. В п. 1 §2 этой главы (см. определение 2)
были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной,
знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм.
В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного
индексов инерции квадрата формы мы укажем, каким образом можно выяснить
принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов.
При этом индексом инерции квадратичной формы будем называть число отличных от
нуля канонических коэффициентов этой формы (т.е. ее ранг), положительным
индексом инерции - число положительных канонических коэффициентов, отрицательным
индексом инерции - число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что
сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции.
Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции
квадратичной формы А(х, х) соответственно равны k
, p и
q (k = p + q).B предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе
f
= (f 1 , f 2 , ..., f n)
эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:
где η 1 ,
η
2 , ..., η
n
- координаты вектора х в базисе f
.
1°. Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы.
Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы квадратичная форма А(х, х), заданная в n
-мерном
линейном пространстве L, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы
либо положительный индекс инерции р, либо отрицательный индекс инерции q был
равен размерности n
пространства L.
При этом, если р = n
, то форма положительно
определенная, если же q = n, то форма отрицательно определенная.
Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно
определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения
проведем для положительно определенных форм.
1) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно определена. Тогда выражение
(7.35) примет вид
А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 .
Если при этом р < n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
форма А(х, х) обращается в нуль, а это противоречит
определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, р =
n
.
2) Достаточность. Пусть р = n
. Тогда соотношение
(7.35) имеет вид А(х,х) = η 1 2 + η
2 2
+ ... + η
р 2 . Ясно, что
А(х, х) ≥
0, причем, если А = 0, то
η
1 = η
2
= ... = η n
= 0,
т. е. вектор х нулевой. Следовательно, А(х, х) - положительно определенная
форма.
Замечание. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с
помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.
В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности
квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о
знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к
каноническому виду.
2°. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы.
Докажем следующее утверждение.
Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно,
чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были
отличны от нуля.
Доказательство. 1) Необходимость. Так как знакопеременная форма принимает как
положительные, так и отрицательные значения, то ее представление G.35) в
нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицательные
слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо
неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный
индексы инерции отличны от нуля.
2) Достаточность. Пусть р ≠ 0
и q
≠
0. Тогда для вектора x 1 , с координатами
η 1 ≠ 0, ..., η
р
≠
0, η р+1
= 0, ..., η n = 0
имеем А(х 1 x 1) > 0, а для вектора х 2 с
координатами η 1 = 0,
...,
η
р = 0, η р+1
≠ 0, ..., η n ≠ 0
имеем А(х 2 ,
х 2) < 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной
формы. Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы форма А(х, х) была квазизнакоопределенной, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись соотношения: либо р < n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Доказательство. Мы рассмотрим случай положительно квазизнакоопределенной формы.
Случай отрицательно квазизнакоопределенной формы рассматривается аналогично.
1) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно квазизнакоопределенная.
Тогда, очевидно, q = 0 и р < n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Достаточность. Если р < n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0,
η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
имеем А(х, х) = 0, т.е. А(х, х) - положительно квазизнакоопределенная форма.
3. Критерий Сильвестра (Джемс Джозеф Сильвестр (1814-1897) - английский
математик) знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма А(х, х) в базисе
е = (е 1 , е 2 ,..., е n
)
определяется матрицей А(е) = (а ij
):
и пусть Δ 1 = а 11 ,
- угловые миноры и определитель матрицы (а ij
).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма А(х, х)
была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены
неравенства Δ 1
> 0,
Δ
2 > 0, ..., Δ
n
> 0.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и
достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем
Δ 1
< 0.
Доказательство. 1) Необходимость. Докажем сначала, что из условия
знакоопределенности квадратичной формы А(х, х) следует Δ i
≠ 0
, i
= 1, 2,..., n
.
Убедимся, что предположение Δ k
= 0 ведет к противоречию - при этом предположении существует ненулевой вектор х,
для которого А(х, х) = 0, что противоречит знакоопределенности формы.
Итак, пусть Δ k
= 0. Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений:
Так как Δ k
- определитель этой системы и Δ k
= 0, то система имеет ненулевое решение ξ 1 ,
ξ
2 , ..., ξ
k
(не все ξ
i равны 0). Умножим первое из
уравнений (7.36) на ξ 1 ,
второе на
ξ 2 ,
..., последнее на
ξ
k и сложим полученные соотношения. В
результате получим равенство 
, левая часть которого
представляет собой значение квадратичной формы А(х, х) для ненулевого вектора х
с координатами (ξ 1 ,
ξ
2 , ..., ξ
k ,
0, ..., 0
). Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности
формы.
Итак, мы убедились, что Δ i
≠
0, i
= 1, 2,...,
n
. Поэтому мы можем применить метод Якоби приведения
формы А(х, х) к сумме квадратов (см. теорему 7.4) и воспользоваться формулами
(7.27) для канонических коэффициентов λ i
.
Если А(х, х) - положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты
положительны. Но тогда из соотношений (7.27) следует, что Δ 1
> 0, Δ
2 > 0, ..., Δ
n
> 0. Если же А(х, х) - отрицательно определенная форма, то все канонические
коэффициенты отрицательны. Но тогда из формул (7.27) следует, что знаки угловых
миноров чередуются, причем Δ 1
< 0.
2) Достаточность. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры
Δ i
в
формулировке теоремы. Так как Δ i
≠
0, i
= 1, 2,...,
n
, то форму А можно привести к сумме квадратов методом
Якоби (см. теорему 7.4), причем канонические коэффициенты λ i
могут быть найдены по формулам (7.27). Если Δ 1
> 0, Δ
2 > 0, ..., Δ
n
> 0, то из соотношений (7.27) следует, что все λ i
> 0, т. е. форма А(х, х) положительно определенная. Если же знаки
Δ i
чередуются и
Δ 1
< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
