Теория стоимости денег во времени
По теории стоимости денег во времени одна денежная единица сегодня стоит дороже, чем полученная в будущем.
Весь период до появления будущих доходов денежная единица приносит прибыль или новую стоимость. Сумма денег приписываемая к определенному моменту времени называется денежными потоками. Основной операцией позволяющей сопоставить разновременные деньги являются операции накопления и дисконтирования.
Накопление – это процесс определения будущей стоимости.
Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.
На этих двух операциях строится весь финансовый анализ, так как денежная единица рассматривается как капитал.
Задачи накопления наиболее наглядно показаны примерами из области кредитных отношений, при этом используется формула начисления сложного процента.
Одним из основных критериев является процентная ставка (i ) – это отношение чистого дохода к вложенному капиталу. В случае операции накопления – эта ставка называется ставкой дохода на капитал. При дисконтировании называется ставкой дисконта или ставкой дисконтирования.
Суммы денег, получаемые (отдаваемые) регулярно (ежемесячно, ежеквартально, ежегодно) называются аннуитетом - они бывают простые и авансовые, в зависимости от того, в конце или в начале периода они выплачиваются.
Риск – это неопределенность, связанная с инвестициями, т. е. вероятность того, что прогнозируемые доходы от инвестиций окажутся больше или меньше предполагаемых величин.
Финансовые расчеты могут основываться на простом и сложном проценте.
Простой процент – приращение дохода на вложенную сумму денег по единой процентной ставке в течение всего срока.
Сложный процент – приращение дохода на вложенную сумму денег по сумме остатка предыдущего периода времени в течение срока инвестиций или кредита.
Расчет простого процента:
Расчет сложного процента:
FV = PV × (1+ i ) n (2)
PV – текущая стоимость, руб (у.е.);
FV – будущая стоимость, руб (у.е.);
n – период (срок) вклада, лет (мес.).
Таблица 1 - Получение простого и сложного процента
|
Операции | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
Разница в расчетах по простому и сложному проценту заключается в том, что при простом проценте ставка начисляется каждый раз на первоначально – вложенный капитал, при сложном проценте каждое последующие начисление ставки осуществляется в предшествующий период суммы, т. е. идет начисления процента на процент.
Правило 72-х :
Применяется для примерного расчета количества лет, необходимых для увеличения денежной суммы в 2 раза:
n =72 / i (3)
Выделяют шесть функций сложного процента:
Накопленная сумма денежной единицы
Текущая стоимость единицы (реверсии)
Накопление денежной единицы за период
Фонд возмещения
Взнос на амортизацию единицы
Текущая стоимость аннуитета (платежа)
Теперь рассмотрим каждую функцию по отдельности.
Накопленная сумма денежной единицы
Экономический смысл – показывает, какая сумма будет накоплена на счете к концу определенного периода при заданной ставке дохода, если сегодня положить на счет одну денежную единицу.
При начислении процентов 1 раз в год:
FV = PV × (1+ i ) n (4)
При начислении процентов чаще, чем 1 раз в год:
FV = PV × (1+ i / k ) n × k (5)
i – ставка дисконта, %
n – период (срок) вклада, лет (месяц)
k – число начислений процентов в год
(1+ i ) n – фактор накопленной суммы единицы при ежегодном начислении процентов
(1+i/k) n * k – фактор накопленной суммы денежной единицы при начислении процентов чаще, чем раз в 1 год.
Задача 1: Определить какая сумма будет накоплена на счете к концу 28,5 года, если сегодня положить на счет, приносящий 26 % годовых, 4450 руб. Начисление процентов осуществляется в конце каждого полугодия.
FV = 4 450×(1+0,26/2) 28,5×2 = 4 718 796,94 руб.
Текущая стоимость единицы
Экономический смысл – показывает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость одной денежной единицы, получаемой в конце определенного периода времени.
Определяется по формулам:
(6)
(7)
1/(1+ i ) n – фактор текущей стоимости единицы при ежегодном начислении процентов;
1/(1+ i / k ) n × k – фактор текущей стоимости единицы при более частом, чем 1 раз в год начислении процентов.
Задача 2: Определить текущую стоимость 3100 руб., которые будут получены в конце 9-го года при ставке дисконта 9%. Начисление процентов каждый день.
PV= 3 100×1/(1+0,09/365) 9×365 = 1 379,20 руб
Накопление денежной единицы за период
Экономический смысл – показывает, какая сумма будет накоплена на счете при заданной ставке, если регулярно в течение определенного срока откладывать на счет одну денежную единицу.
Будущая стоимость обычного аннуитета:
(8)
(9)
Будущая стоимость авансового аннуитета:
(10)
(11)
PMT – равновеликие периодические платежи, руб;
((1+ i ) n - 1) / i – фактор накопления денежной единицы за период
Задача 3: Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 34 % годовых к концу 49 месяца, если ежемесячно откладывать на счет 6300 руб. платежи осуществляются: а) в начале месяца; б) в конце месяца.
а)
б)
Формирование фонда возмещения
Экономический смысл – показывает, сколько нужно откладывать на счет регулярно в течение определенного времени, чтобы при заданной ставке дохода иметь на счете к концу этого срока одну денежную единицу.
Определяется по формулам:
(12)
(13)
i / (1+ i ) n -1 – фактор фонда возмещения.
Задача 4: Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 9-го года иметь на счете, приносящем 8% годовых, 78 000 руб. платежи осуществляются: а) в конце каждого полугодия; б) в конце каждого квартала.
а)
б)
Взнос на амортизацию
Экономический смысл – показывает, какими должны быть аннуитетные платежи в счет погашения кредита в одну денежную единицу, выданного при заданной процентной ставке на определенный срок.
Определяется по формулам:
(14)
(15)
–фактор
взноса на амортизацию;
Задача 5: Кредит в размере 345 000 рублей выдан на 29 лет под 18% годовых. Определить размер аннуитетных платежей. Погашение кредита осуществляется в конце каждого месяца.
Текущая стоимость аннуитета
Экономический смысл – показывает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость серии платежей в одну денежную единицу, поступающих в течение определенного срока.
Определяется по формулам:
1. Обычный аннуитет:
(16)
(17)
2. Авансовый аннуитет:
(18)
(19)
PV - настоящий платеж, руб;
PMT - регулярный периодический платеж, руб;
i – ставка дисконта, %;
k - количество начислений в год (период);
n – период (срок) вклада, лет (месяц);
–фактор
текущей стоимости обычного аннуитета;
–фактор
текущей стоимости авансового аннуитета
Задача 6: Договор аренды квартиры составлен на 24 месяца. Определить текущую стоимость арендных платежей при 8% ставке дисконтирования. Арендная плата 2550 руб / мес. При условиях:
а) Арендная плата выплачивается в начале квартала;
б) Арендная плата выплачивается в конце каждого квартала.
Решение:
а)
б)
Расчет исчисления реальной ценности (стоимости) денег основан на временной оценке денежных потоков, которая основана на следующем. Цена приобретения объекта недвижимости определяется, в конечном счете, величиной дохода, который инвестор предполагает получить в будущем. Однако покупка объекта недвижимости и получение доходов происхо¬дят в разные отрезки времени. Поэтому простое сопоставление величи¬ны затрат и доходов в той сумме, в которой они будут отражены в фи¬нансовой отчетности, невозможно (например, 10 млн. рублей готового дохода, полученные через 3 года, будут меньше этой суммы в настоящее время). Однако на стоимость денег оказывают влияние не только инфор¬мационные процессы, но и основное условие инвестирования - вло¬женные деньги должны приносить доход
Приведение денежных сумм, возникающих в разное время, к сопо¬ставимому виду называется временной оценкой денежных потоков. В этих расчетов положен сложный процент, который означает, что вся основная сумма, находящаяся на депозите, должна приносить процент, включая процент, оставшийся на счете с предыдущих периодов
Теория и практика использования функций слож¬ного процента базируется на ряде допущений: 1. Денежный поток, в котором суммы различаются по величине, называют денежным потоком
2. Денежный поток, в котором все суммы равновелики, называют аннуитетом
3. Суммы денежного потока возникают через одинаковые промежутки времени, называемые периодом
4. Доход, получаемый на инвестированный капитал, из хозяйствен¬ного оборота не изымается, а присоединяется к основному капиталу
5. Суммы денежного потока возникают в конце периода (в иных случаях требуется соответствующая корректировка)
Рассмотрим подробнее шесть функций слож¬ного процента
1. Накопленная сумма единицы
Данная функция позволяет определить будущую стоимость имеющейся денежной суммы исходя их предполагаемой ставки периодичности дохо¬да, срока накопления и начисления процентов. Накопленная сумма еди¬ницы - базовая функция сложного процента, позволяющая определить будущую стоимость при заданном периоде, процентной ставке и извест¬ной сумме в будущем
FV = PV * (1 + i)n Пример задачи: Получен кредит 150 млн. руб. сроком на 2 года, под 15% годовых; начисление % происходит ежеквартально. Определить наращенную сумму, подлежащую возврату. 2. Текущая стоимость единицы (фактор реверсии)
Текущая стоимость единицы (ревер¬сии) дает возможность определить настоящую (текущую, приведенную) стоимость суммы, величина которой известна в будущем при заданном периоде процентной ставки. Это процесс, полностью обратный начисле¬нию сложного процента
PV = FV / (1 + i)n Показывает текущую стоимость денежной суммы, которая должна быть единовременно получена в будущем
Пример задачи: Какова текущая стоимость 1 000 долларов, полученных в конце пятого года при 10% годовых при годовом начислении процента? 3. Накопление единицы за период (будущая стоимость аннуитета) . Показывает, какой по истечении всего срока будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого из периодических интервалов, т.е. будущая стоимость аннуитета. (Аннуитет - это денежный поток, в котором все суммы равновелики и возникают через одинаковые промежутки времени)
FVA = (1 + i)n – 1 i PMT Пример задачи: Определить будущую стоимость регулярных ежемесячных платежей величиной по 12000$ в течение 4 лет при ставке 11,5% и ежемесячном накоплении
4. Текущая стоимость обычного аннуитета. Показывает текущую стоимость равномерного потока доходов, например, доходов, получаемых от сдаваемой в аренду собственности. Первое поступление происходит в конце первого периода; последующие - в конце каждого последующего периода
PVA = PMT * 1 - (1 + i)-n i Пример задачи: Определить величину кредита, если известно что в его погашение ежегодно выплачивается по 30000 $ в течение 8 лет при ставке 15%. 5. Фактор фонда возмещения Показывает сумму равновеликого периодического взноса, который вместе с процентом необходим для того, чтобы к концу определенного периода накопить сумму, равную FVA. SFF = FVA * i (1 + i)n - 1 Пример задачи: Определить сумму, ежемесячно вносимую в банк под 15% годовых для покупки дома стоимостью 65000000$ через 7 лет. 6. Взнос на амортизацию единицы Показывает равновеликий периодический платеж, необходимый для полной амортизации кредита, т.е. позволяет определить размер платежа, необходимого для возврата кредита, включая процент и выплату основной суммы долга: PMT = PVA * i 1 - (1 + i)-n Пример задачи: Какими должны быть ежемесячные выплаты по самоамортизирующемуся кредиту в 200000 долларов, предоставленному на 15 лет при номинальной годовой ставке 12%? Тема 2. Рынок недвижимости и особенности его функционирования
Суть оценки стоимости приносящего прибыль предприятия состоит в том, что определяется текущая стоимость прибыли, которая будет получена в прогнозируемом периоде. Величина текущей стоимости прибыли не соответствует величине будущей прибыли, так как гривна, полученная завтра, стоит меньше, чем гривна, полученный сегодня. Это обусловлено в основном двумя причинами. Во-первых, деньги со временем приносят доход; во-вторых, инфляционные процессы обесценивают рубль. В связи с этим, чтобы определить текущую стоимость завтрашней гривны, необходимо проводить соответствующие расчеты.
Для определения стоимости собственности, приносящей до ход, необходимо определить текущую стоимость денег, которые будут получены через какое-то время в будущем.
Известно, а в условиях инфляции куда более очевидно, что деньги изменяют свою стоимость с течением времени. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.
Накопление - это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.
Дисконтирование - это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.
В оценке эти финансовые расчеты базируются на сложном процессе, когда каждое последующее начисление ставки процента осуществля ется как на основную сумму, так и на начисленные за предыдущие периоды невыплаченные проценты.
Всего рассматривают шесть функций денежной единицы, основанных на сложном проценте. Для упрощения расчетов разработаны таблицы шести функций для известных ставок дохода и периода накопления (I и n), кроме того, можно воспользоваться финансовым калькуля тором для расчета искомой величины.
1 функция: Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма денежной единицы), (fvf , i , n).
Если начисления осуществляются чаще, чем один раз в год, то формула преобразуется в следующую:
k - частота накоплений в год.
Данная функция используется в том случае, когда известна текущая стоимость денег и необходимо определить будущую стоимость де нежной единицы при известной ставке доходов на конец определенного периода (n).
Правило 72х
Для примерного определения срока удвоения капитала (в годах) необходимо 72 разделить на целочисленное значение годовой ставки до хода на капитал. Правило действует для ставок от 3 до 18%.
Типичным примером для будущей стоимости денежной единицы может служить задача.
Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу 3го года, если сегодня положить на счет, приносящий 10% годовых, 10 000 рублей.
FV=10000[(1+0,1)3]=13310.
2 функция: Текущая стоимость единицы (текущая стоимость реверсии (перепродажи)), (pvf , i , n).
Текущая стоимость единицы является обратной относительно бу дущей стоимости.
Если начисление процентов осуществляется чаще, чем один раз в год, то
3 функция: Текущая стоимость аннуитета (pvaf , i , n).
Аннуитет - это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени.
Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале - авансовый.
Формула текущей стоимости обычного аннуитета:
PMT - равновеликие периодические платежи. Если частота начислений превышает 1 раз в год, то
Формула текущей стоимости авансового аннуитета:
5 функция: Взнос на амортизацию денежной единицы (iaof, r, n)
Функция является обратной величиной текущей стоимости обычного аннуитета (функция 3). Взнос на амортизацию денежной единицы используется для определения величины аннуитетного платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при заданной ставке по кредиту.
Амортизация - это процесс, определяемый данной функцией, включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга.
При платежах, осуществляемых чаще, чем 1 раз в год используется следующая формула:
6 функция: Фактор фонда возмещения (sff , i , n)
Данная функция обратна функции накопления единицы за период. Фактор фонда возмещения показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.
Для определения величины платежа используется формула:
При платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем 1 раз в год:
базовой формулы сложного процента (1 + i)t, характеризующей накопленную сумму единицы. Все пять функций сложного процента - это производные от первой (прямой) функции сложного процента: накопленной функции единицы (будущей стоимости единицы). Каждая из этих функций предполагает, что деньги, положенные на депозит, до тех пор пока находятся на нем, приносят процент. В основу каждого фактора положен эффект сложного процента, при котором полученный процент переводится в основную сумму.
Важным соотношением функций сложного процента является следующее: сумма фактора фонда возмещения (графа 3) и периодического процента (i) равна взносу на амортизацию одного доллара. Это соотношение показывает, что взнос на амортизацию единицы является суммой двух элементов, на что обращалось внимание выше. Один элемент - процент (доход на инвестиции); второй - возмещение капитальных вложений (возврат инвестиционных средств). Рассчитывая платежи по кредиту на основе взноса на амортизацию одного доллара, заемщик выплачивает в течение срока погашения кредита основную сумму кредита плюс процент. Если выплачивается лишь процент, заемщик на отдельном счете аккумулирует основную сумму исходя из значений фактора возмещения. Учитывая, что фонд возмещения приносит процент по той же ставке, что и кредит, по окончании срока кредита остаток фонда возмещения используется для погашения остатка задолженности по основной сумме кредита.
Таким образом, взнос на амортизацию одного доллара (графа 6) всегда превышает периодическую ставку процента вне зависимости от срока кредита.
Аналогично, текущая стоимость обычного аннуитета (графа 5) никогда не превышает фактор, равный частному от деления 1 долл. на периодическую ставку процента.
Основой финансовой математики являются следующие шесть функций
сложного процента (или шесть функций денег):
1. Будущая стоимость единицы (накопленная сумма единицы) – FV (Future value ).
2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период) – FVA (Future value of an annuity ).
3. Фактор фонда возмещения (периодический взнос в фонд накопления) – SFF (Sinking fund factor ).
4.Текущая стоимость единицы (дисконтирование, реверсия) – PV (Present value ).
5.Текущая стоимость аннуитета – PVA (Present value of annuity ).
6.Взнос на амортизацию единицы – IAO (Installment of amortize one ).
Эти функции используются в различных финансовых расчетах. Рассмотрим каждую из этих функций с точки зрения ее математической формулировки и сферы применения.
Функции наращения
Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма единицы)
Данная функция позволяет определить будущую стоимость инвестированной денежной единицы, исходя из предполагаемых: ставки дохода (r), срока накопления (n) и периодичности (частоты) начисления процента (m):
FV = PV * (1+ r)n = PV * FМ1(r, n),
где FV – будущая стоимость денег;
PV – текущая стоимость денег;
r – ставка дохода;
n – число периодов накопления.
FМ1(r, n) = (1+ r)n – мультиплицирующий множитель, значения которого рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах. Иногда его обозначают как FVIF (от англ. Future Value Interest Factor – процентный множитель будущей стоимости).
Экономический смысл множителя FМ1(r, n) состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица через (n) периодов при заданной процентной ставке (r). Справедливость формулы очевидна (рисунок 6.7).
Если на депозит положена сумма PV, то через один период начисления эта сумма станет равна:
FV1= PV + PV * r = PV * (1 + r),
через два периода она станет равна:
FV2= FV1+ FV1* r = FV1* (1+ r) = PV (1 + r)2,
FVn= FVn−1 + FVn−1* r = FVn−1* (1+ r) = PV (1 + r)n.
Рисунок 6.7 – Будущая стоимость денежной единицы
Пример. $1000 вложено в банк под 10 % годовых. Какая сумма накопится на счете через 5 лет? 10% переводим в относительные единицы, для этого делим их на 100% и получаем 10% / 100% =0,1.
FV5= 1000 (1+ 0,1)5= 1610,5.
Правило 72-х. Иногда при расчетах приходится сталкиваться с задачей определения количества периодов начисления, по истечении которых первоначально депонированная сумма увеличивается вдвое. Очень просто решить эту задачу позволяет известное «Правило 72-х», согласно которому – количество периодов, необходимое для удвоения первоначальной суммы вычисляется по формуле:
n = 72 / r .
Данное правило позволяет получить точные результаты при значениях r: 3% < r < 18%. Срабатывает правило и в обратном порядке для определения ставки дохода, при которой депонированная сумма удвоится.
Например, при ставке 6% годовых сумма удвоится за 72 / 6 = 12 лет.
Более частое, чем один раз в год, начисление процентов. Приведенные выше расчеты основывались на том предположении, что начисление процентов происходит один раз в год. Однако аккумулирование может происходить не только раз в год, но и чаще, например раз в квартал, раз в месяц и т. д. В этом случае необходимо ставку процента разделить на частоту накопления в течение года (m), а число лет накопления (n) умножить на частоту накопления в течение года (m). Формула расчета будет выглядеть следующим образом:
FV = PV (1 + r/m)n*m,
где m – частота начисления процентов в год;
n – число лет, в течение которых происходит накопление.
Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма. Приведенное преобразование справедливо в отношении всех шести функций.
6.2.1.2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)
Данная функция показывает, какой будет стоимость серии равных
платежей величиной (А) по истечении установленного срока их наращения (n) (рисунок 6.8).
Рисунок 6.8 – Будущая стоимость аннуитета постнумерандо
Из рисунка 6.8 видно, что будущая стоимость исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо (FVАpst) может быть оценена как сумма наращенных поступлений.
Очевидно, что будущая стоимость последнего платежа совпадает с величиной самого платежа, т.к. отсутствует период наращения:
Будущая стоимость предпоследнего платежа будет наращена за один период и составит:
Аналогично наращиваются все платежи. Будущая стоимость первого платежа будет наращена за (n-1) периодов и составит:
FVn-1= А·(1+r) n-1.
Их общую сумму можно выразить как:
FVАpst = А·(1+r)n-1+ А·(1+r)n-2+ ...+ А·(1+r) + А
Вынесем (А) за знак скобки и обозначим (1+r) через (q). Получим выражение:
FVА = А·(qn-1+ qn-2+ ...+ q + 1).
Теперь отчетливо видно, что многочлен, содержащийся в скобках, называемый мультиплицирующий множитель и обозначаемый (FМ3(r, n)), представляет собой сумму членов геометрической прогрессии (S), но записанной в обратном порядке:
S = 1 + q + q2… + qn-2+ qn-1
Умножим обе части этого уравнения на (q) и получим:
S·q = q + q2… + qn-1+ qn
Вычтя из полученного уравнения предыдущее, получим:
S·q – S = qn–1.
S = (qn– 1) / (q – 1)
Теперь, подставив вместо (q) его значение (1+r), получаем формулу расчета мультиплицирующего множителя:
FМ3(r, n) = S = ((1+r)n– 1)/r
Следовательно, выражение для будущей стоимости обычного аннуитета величиной (А) за (n)периодов будет иметь вид:
FVАpst = А·FМ3(r, n) = А·((1+r)n– 1)/r).
Данный мультипликатор еще называют - процентный множитель будущей стоимости аннуитета FVIFA(r, n) – Future Value Interest Factor of Annuity. Экономический смысл мультиплицирующего множителя заключается в том, что он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного (на определенный срок) накопленного аннуитета величиной в одну денежную единицу к концу срока его действия.
Поскольку значения множителя (FМ3(r, n)) зависит лишь от (r) и (n), то они рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах.
Пример. Если вкладывать ежегодно $900 на счет в банке под 10% годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?
FVА5= 900·((1+0,1)5− 1) / 0,1) = 5494,59
Теперь рассмотрим случая авансового аннуитета (рисунок 6.9).
Как и в случае обычного, рассмотрим накопленные суммы в конце первого, второго... n -го периода:
FV1= А·(1+r) ,
FV2= А·(1+r)2,
…………………………………………….……….
FVn= А· (1+r)n
FVАpre = А·(1+r)n+А·(1+ r)n −1+...+ А·(1+r)2+ А·(1+r).
Рисунок 6.9 – Будущая стоимость авансового аннуитета (пренумерандо)
Сравнив формулы расчета FVАpst и FVАpre, легко убедиться, что
FVАpre = FVАpst (1+ r).
Произведя соответствующее умножение, получим:
FVАpre = FVАpst·(1+ r) = А· ((1+r)n– 1)/r) (1+ r) =
А· ((1+r)n+1– 1 – r)/r) = А· ((1+r)n+1– 1)/r) – 1).
Периодические депозиты могут вноситься чаще, чем один раз в год, соответственно чаще накапливается процент. При этом количество начислений увеличится в m раз и составит (n·m), а ставка уменьшится в m раз и составит (n/m). Тогда ранее полученная формула примет вид:
FVАn= А·(((1+r/m)(n+1)m– 1)/r/m) – 1).
Чем чаще делаются взносы, тем больше накопленная сумма.
Пример. Если вкладывать ежемесячно $75 на счет в банке под 10 % годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?
FVА5= 75 (((1+0,1/12) 5·12– 1) / 0,1/12 = 5807,78.
Фактор фонда возмещения
Данная функция позволяет рассчитать величину периодического платежа (А или SFF, как его в таком случае называют), необходимого для накопления нужной суммы (FVА) по истечении (n)платежных периодов при заданной ставке процента (r) (рисунок 6.10).
Рисунок 6.10 – Периодический взнос в фонд накопления
Из формулы будущей стоимости аннуитета (FVА = А·FМ3(r, n)) следует, что величина каждого платежа (SFF или А) в случае обычного аннуитета вычисляется следующим образом:
SFFpst = Аpst = FVА / FМ3(r, n) = FVА·r/((1 + r)n− 1) = FVА·FМ5(r, n) .
где FМ5(r, n) = r/((1 + r)n− 1) – мультиплицирующий множитель, значения которого рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах.
Экономический смысл множителя FМ5(r, n) состоит в том, что он показывает величину периодических платежей необходимых для накопления одной денежной единицы через (n) периодов.
Пример. Необходимо за 4 года скопить $1000 при ставке банка 10%. Сколько придется вкладывать каждый год?
SFF = 1000 (0,1 / ((1 + 0,1)4− 1) = 215,47.
В случае авансового фонда возмещения (соответствующего авансовому аннуитету) формула единичного платежа (SFFpre) имеет вид:
SFFpre = FVА·r/((1 + r)(n+1)− 1− r).
Функции дисконтирования
Л.О. Григорьева
Управление инвестициями
Учебный модуль
Улан-Удэ
Издательство ВСГТУ
| введение………………………………………………………………….………………………………… | ||
| Тема 1. Понятие и классификация инвестиций………………………………………..……. | ||
| 1.1. | Понятие инвестиций и их классификация……………………………………...……………………. | |
| 1.2. | Инвестиционный процесс и механизм инвестиционного рынка……………………….…………. | |
| 1.3. | Шесть функций сложного процента……………………………………………………………….... | |
| Тема 2. Экономические, правовые и организационные основы инвестиционной деятельности в РФ……………………..……………………….................... | ||
| 2.1 | Нормативная база инвестиционной деятельности в РФ…………………………………………… | |
| 2.2 | Методы государственного регулирования инвестиционной деятельности………………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Тема 3. Источники финансирования инвестиционной деятельности…………. | ||
| 3.1 | Классификация источников финансирования инвестиционной деятельности предприятия…… | |
| 3.2 | Основные методы финансирования инвестиционной деятельности……………………………… | |
| 3.3 | Анализ цены и структуры капитала…………………………………………………………………. | |
| 3.4 | Методы расчета потребности в инвестициях………………………………………………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Тема 4. Планирование инвестиций. Этапы составления бизнес-плана……….. | ||
| 4.1 | Сущность и классификация инвестиционных проектов…………………………………………… | |
| 4.2 | Жизненный цикл инвестиционного проекта……………………………………………………….. | |
| 4.3 | Методика составления и структура бизнес-плана инвестиционного проекта……………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Тема 5. Оценка эффективности инвестиционного проекта…….………………….. | ||
| 5.1 | Основные аспекты оценки эффективности инвестиционных проектов…………………………. | |
| 5.2 | Оценка финансовой состоятельности инвестиционного проекта………………………………… | |
| 5.3 | Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов……………………………… | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Задачи для практических занятий…………………………………………………………………………. | ||
| Тема 6. Риск- менеджмент инвестиционного проекта ………………………………. | ||
| 6.1 | Сущность и классификация рисков инвестиционного проекта………………………………….. | |
| 6.2 | Риск- менеджмент инвестиционного проекта………………………………………………………. | |
| 6.3 | Методы оценки проектного риска…………………………………………………………................ | |
| 6.4 | Приемы по управлению рисками проекта…………………………………………………………… | |
| Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….. | ||
| Тесты………………………………………………………………………………………………………….. | ||
| Тема 7. Оценка инвестиционных качеств и эффективности финансовых инвестиций ……………………………………………………………………………………………… | ||
| 7.1. | Расчет доходности по операциям с ценными бумагами……………………………………………. | |
| 7.2 | Расчет будущего капитала в финансовых инвестициях……………………………………………. | |
| 7.3 | Расчет курсовой стоимости ценных бумаг…………………………………………………………... | |
| 7.4 | Особенности оценки инвестиций в вексельном обращении………………………………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Задачи для практических занятий………………………………………………………………………….. | ||
| Тема 8. Формирование инвестиционного портфеля…………………………………… | ||
| 8.1 | Понятие и виды инвестиционных портфелей……………………………………………………… | |
| 8.2 | Доходность портфеля………………………………………………………………………………… | |
| 8.3 | Риск портфеля………………………………………………………………………………………… | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Задачи для практических занятий…………………………………………………………………………… | ||
| ПриложениЕ1………………………………………………………………………………………………. | ||
| ПриложениЕ2………………………………………………………………………………………………. | ||
| Приложение 3……………………………………………………………………………………………… |
Тема 1. Инвестиции. Сущность инвестиционного процесса
Шесть функций сложного процента
Первая функция сложного процента – это фактор будущей стоимости текущего (сегодняшнего) капитала.
| FV = PV*(1+i) n | (1.4) |
FV – это будущая стоимость текущего капитала (future value);
PV – текущая стоимость капитала (present value);
i – ставка процента;
n – количество периодов.
В каких случаях используется формула сложного процента:
Мы имеем какую-то сумму денег. Мы хотим положить ее в банк под определенный процент, на определенный срок (год, месяц, квартал). При этом мы хотим знать: сколько будут стоить наши деньги в конце срока вклада.
Пример. Допустим у нас есть 1 руб. и мы кладем его в начале года в банк, под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет стоить этот руб. через 5 лет?
FV = 1 руб.*(1+10%) 5 = 1,61 руб.
Пример . Вы положили деньги в банк 1000 руб. под 24% годовых на 1 год. Аккумулирование (т.е. начисление %) происходит два раза в год по фиксированной годовой ставке. Надо определить периодическую ставку (i p), будущую стоимость текущего капитала (FV), величину дохода на капитал (Д) и фактическую годовую ставку (i ф).
Определим периодическую ставку, в данном случае – полугодовую: i p = i г /2 = 24% /2 =12%
Определим будущую стоимость текущего капитала: FV =1000(1+0,12) 2 = 1254,4 руб.
Определим величину дохода на капитал: Д = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 руб.
Определим фактическую годовую ставку: i ф = (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25%
Фактическая ставка включает начисленные сложные проценты, поэтому она всегда больше, чем номинальная ставка. Кроме того, чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.
Пример . Через сколько лет произойдет удвоение капитала, если известно, что годовая номинальная ставка, под которую положили деньги в банк равна 12%?
Решение этой задачки основано на использовании так называемого «правила 72-х». Согласно этому правилу, количество лет, через которое произойдет удвоение вложенной суммы, определяется по формуле: 72 / номинальная годовая ставка %
72 / 12% = 6 лет.
Правило дает удовлетворительный ответ при ставке, находящейся в диапазоне от 3 до 18%.
Вторая функция сложного процента – фактор будущей стоимости аннуитета.
Она предназначена для определения будущей стоимости равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же суму денег (РМТ) в течение какого-то времени(1,2,3 года и т.п.).
РМТ (payment ) – единовременный платеж в периоде k. (периоды одинаковые).
Серия таких платежей называется аннуитетом .
Различают обычный и авансовый аннуитет .
Будущая стоимость обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода). Его будущая стоимость выражается в формуле:
Пример . Чтобы накопить себе на автомобиль, вы решили откладывать в банк по 1000 $ каждый год при 12% годовых в течение 5 лет. Как лучше откладывать деньги (в конце или в начале года), чтобы получить через 5 лет большую сумму и сколько денег окажется на вашем счете через 5 лет?
Определим, сначала, сколько денег мы получим через 5 лет, если будем откладывать в конце каждого года:
Таким образом, получается, что вкладывать в начале каждого года гораздо выгоднее, чем в конце.
Третья функция сложного процента – фактор фонда возмещения.
Фактор фонда возмещения – это величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить на счете определенную (желаемую) сумму. Т.е. допустим, мы хотим получить 1 миллион рублей через пять лет. Для этого можно положить деньги в банк. Нам известна величина банковского процента. Фактор фонда возмещения (ФФВ) определяет величину периодических равновеликих платежей, которые нам придется платить эти 5 лет. То есть ФФВ - это то же РМТ.
Различают Фактор Фонда Обычного Возмещения и Фактор Фонда Авансового Возмещения, в зависимости от того, когда (в конце или начале периода) производятся платежи.
Фактор Фонда Обычного Возмещения (платежи в конце каждого периода):
2-я и 3-я функции сложного процента взаимосвязаны между собой через формулы. 2-я функция – это определение FV, а 3-я – это определение PV.
Пример . Вы взяли у своего знакомого в долг и через 5 лет должны вернуть 1000$. Чтобы проще было расплатиться с долгами, вы решили откладывать деньги в банк каждый год. Банковская ставка также равна 15% годовых. Как выгоднее депонировать деньги – в начале года или в конце года? Какую сумму вы должны депонировать в банке, чтобы в конце 5-го года выплатить эту 1000$?
1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:
| ФФОВ = | _____15%___ | *1000$ | = 148 $ |
| (1+15%) 5 - 1 |
- Фактор Фонда Авансового Возмещения:
2. Фактор Фонда Авансового Возмещения:
| ФФАВ = | ________1,25%__________ | *10000$ | = 111,5 $ |
| (1+1,25%) 5*12+1 – (1+1,25%) |
Каждый месяц вам выгоднее откладывать по 111,5 $.
Четвертая функция сложного процента – фактор текущей стоимости будущего капитала.
Текущая стоимость будущего капитала – это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Математически выразить текущую стоимость будущего капитала можно следующим образом:
PV = FV /(1+i) n (1.9)
Как вы заметили 4-я и 1-я функция сложного процента взаимосвязаны между собой одной формулой. 1-я функция определяет будущую стоимость текущего капитала.
Пример. Вы решили накопить 12000$. Эта сумма понадобится вам через 4 года. Сколько денег сегодня вы должны положить в банк под 10% годовых, чтобы через 4 года получить 12000$.
PV = 12000$ /(1+10%) 4 = 8196 $
Пятая функция сложного процента – фактор текущей стоимости аннуитета.
5-я функция предназначена для определения текущей стоимости (PV) равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени (1,2,3 года и т.д.) при известной норме прибыли (i ).
В этом смысле, 5-я функция несколько похожа на 2-ю функцию сложного процента, с той лишь разницей, что 2-я определяет FV.
Различают фактор текущей стоимости Обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода) и Авансового Аннуитета (платежи в начале каждого периода).
Текущая стоимость обычного аннуитета:
2. Если платежи будут производится в начале каждого года:
Авансовый взнос на амортизацию (платежи в начале периода):
2. Если платежи в начале года:
| РМТн = | 15000$*12%_____ | = 3715$ |
| (1+12%) – (1+12%) – (5 – 1) |
Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте понятие инвестиций, приведите варианты их классификации.
2. В чем заключаются основные отличия между инвестициями и капитальными вложениями?
3. Что представляет собой инвестиционная деятельность, и из каких этапов она состоит?
4. Какие субъекты инвестиционной деятельности можно выделить? Их отличия и основные характеристики?
5. Объекты инвестиционной деятельности, их отличия и основные характеристики.
6. Реципиент, как субъект инвестиционной деятельности?
7. Какова структура инвестиционного рынка?
8. Какова структура инвестиционного рынка в России? Перечислить и охарактеризовать его составляющие.
1.1. Какие из приведенных ниже вложений в большинстве случаев не относятся к инвестициям?
а) приобретение иностранной валюты;
б) вложения в облигации на вторичном рынке;
в) вложения в депозитные сертификаты;
г) лизинговое финансирование;
д) вложения в акции на первичном рынке.
1.2. Основными целями инвестирования являются:
а) получение прибыли;
б) достижение социального эффекта;
в) накопление капитала
1.1. Прямые инвестиции предполагают:
а) привлечение финансовых посредников к реализации инвестиционных проектов;
б) использование внутренних источников финансирования инвестиций;
в) непосредственное участие инвестора в выборе объектов инвестирования и вложения капитала.
1.2. Какой из перечисленных ниже субъектов экономики не является участником (исполнителем) инвестиционной деятельности?
а) инвестор;
б) исполнитель;
в) проектировщик;
г) подрядчик;
д) страховое общество.
1.3. В какой сфере протекает инвестиционная деятельность?
б) обращения;
в) материального производства;
г) нематериального производства.
1.4. Инвестиционная деятельность коммерческих банков в сфере реального инвестирования имеет следующие формы:
а) инвестиционное кредитование;
б) инвестирование в ценные бумаги;
в) проектное финансирование;
г) долевое участие.
1.7. Какие из приведенных ниже элементов относятся к материальным элементам инвестиций?
а) коммуникации;
б) природные ресурсы;
в) вложения в человеческий капитал;
г) ценные бумаги;
д) патенты, лицензии.
1.8. Что лежит в основе деления инвестиций на реальные, финансовые и инвестиции в нематериальные активы?
а) объекты вложения инвестиций;
б) воспроизводственные формы;
в) стадии инвестиционного процесса;
г)субъекты инвестиционной деятельности.
1.9. Концепцию инвестиционного мультипликатора разработал:
а) Р.Ф. Кан;
б) Самуэльсон;
в) Дж. М. Кейнс.
1.10. Инвестиции в нематериальные активы - это:
а) вложения в торговые марки, товарные знаки, авторские права и т.д.;
б) затраты на приобретение объектов природопользования;
в) вложения в оборотные средства предприятия.
Задачи для практических занятий
Задача 1.1.
Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 800 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.
Задача 1.2.
Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.
Задача 1.3.
Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.
Задача 1.4.
Квартира продана за 800 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?
Задача 1.5.
Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 тыс. руб. под 12%?
Задача 1.6.
Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 тыс. руб.?
